Las funciones submodulares son extremadamente útiles en entornos donde se quiere modelar matemáticamente el concepto de “rendimientos decrecientes”. Una subclase particularmente útil de tales funciones es la clase de funciones submodulares monótonas : (para cada [matemática] A \ subseteq B, f (A) \ leq f (B) [/ math]). Algunas aplicaciones donde se usa dicho modelado se enumeran a continuación. Tenga en cuenta que esta lista no es exhaustiva.
- La función de rango de un matroide.
- Funciones modulares, que se conocen más popularmente como funciones de peso. Es decir, dada alguna [matemática] g: X \ to \ mathbb {R} ^ {+} [/ matemática], la función [matemática] f: 2 ^ {X} \ a \ mathbb {R} ^ {+} [/ math] dado por [math] f (S) = \ sum_ {x \ in S} g (x) [/ math] es modular (y por lo tanto, submodular). La composición de una función modular con una función cóncava (por ejemplo, la función [math] f (S) = \ sqrt {| S |} [/ math]) también es submodular. Más generalmente, la composición de una función submodular con una función cóncava también es submodular.
- Ubicación de las instalaciones. Supongamos que hay instalaciones [matemáticas] n [/ matemáticas] para clientes [matemáticas] m [/ matemáticas], y la utilidad de la instalación [matemáticas] i [/ matemáticas] para el cliente [matemáticas] j [/ matemáticas] está modelada por un valor no negativo [matemática] M_ {i, j} [/ matemática]. Entonces, la utilidad total para un subconjunto [matemática] S [/ matemática] de las instalaciones elegidas viene dada por [matemática] f (S) = \ sum_ {j = 1} ^ {m} \ max_ {i \ in S} M_ { i, j} [/ math], y esta función puede verse como submodular.
- La capacidad de un corte, tanto para gráficos dirigidos como no dirigidos.
- Funciones de cobertura.
- Entropía de Shannon de subconjuntos de un conjunto de variables aleatorias.
Muchos otros entornos (que abarcan árboles, emparejamientos, cubiertas de vértices, corte más escaso, mochila) también admiten funciones submodulares, cuyos resultados se pueden caracterizar utilizando la teoría de las funciones submodulares.
El problema de minimización submodular es computable en (fuertemente) tiempo polinómico [1] [2]. Para guiar la intuición, piense en calcular el corte mínimo en un gráfico.
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El problema de maximización, por otro lado, se sabe que es NP-hard. Una vez más, un ejemplo simple es el problema de corte máximo. Existe una rica teoría basada en la búsqueda de algoritmos de aproximación para una gran variedad de problemas de maximización submodular. En particular, hay resultados que proporcionan factores de aproximación [matemática] (1-1 / e) [/ matemática] para la maximización submodular monótona con restricciones de capacidad [3] y restricciones matroides [4]. Ambos resultados utilizan el algoritmo codicioso obvio (mientras la restricción permanece insatisfecha, aumente el tamaño de su conjunto eligiendo un elemento que obtenga el valor diferencial máximo). Más generalmente, Buchbinder et al. mostró [5] que el problema general de maximización submodular no monótono sin ninguna restricción admite un algoritmo de aproximación [matemático] 1/2 [/ matemático].
Referencias
[1] S. Iwata, L. Fleischer y S. Fujishige, un algoritmo combinatorio fuertemente polinomial para minimizar las funciones submodulares, J. ACM 48 (2001), págs. 761-777.
[2] A. Schrijver, Un algoritmo combinatorio que minimiza las funciones submodulares en un tiempo fuertemente polinomial, J. Combin. Teoría Ser. B 80 (2000), págs. 346–355.
[3] GL Nemhauser, LA Wolsey y ML Fisher, Un análisis de aproximaciones para maximizar las funciones del conjunto submodular I, Programación matemática 14 (1978), 265–294.
[4] G. Calinescu, C. Chekuri, M. Pál y J. Vondrák, Maximizando una función de conjunto submodular sujeta a una restricción matroide, SIAM J. Comp. 40: 6 (2011), 1740-1766.
[5] N. Buchbinder, M. Feldman, J. Naor y R. Schwartz, Un tiempo lineal ajustado (1/2) – aproximación para la maximización submodular sin restricciones, Proc. de 53 FOCS (2012), pp. 649-658.
