Se nos dan probabilidades [matemáticas] P (A) = P (B) = P (C) \ geq 2/3 [/ matemáticas] y sabemos que [matemáticas] P (A \ cap B \ cap C) = 0 [/ mates]. ¿Qué podemos decir sobre [matemáticas] P (A) [/ matemáticas]?

[matemática] \ mathbb {P} (A) = \ mathbb {P} (B) = \ mathbb {P} (C) = \ frac {2} {3} [/ math]

Prueba:

[math] \ mathbb {P} \ left (A \ cup B \ right) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) – \ mathbb {P} (A \ cap B) \ leq1 [/mates]

Por lo tanto, usando los límites inferiores dados en cada evento individual, obtenemos un nuevo límite inferior

[math] \ mathbb {P} (A \ cap B) \ geq \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) -1 \ geq \ frac {1} {3} [/ math]

Entonces considera
[math] \ mathbb {P} ((A \ cap B) \ cup C) = [/ math] [math] \ mathbb {P} (A \ cap B) + \ mathbb {P} (C) – \ mathbb {P} (A \ cap B \ cap C) \ leq 1 [/ math]

Del mismo modo utilizando el límite inferior

[math] \ mathbb {P} (A \ cap B \ cap C) \ geq \ mathbb {P} (A \ cap B) + \ mathbb {P} (C) -1 \ geq0 [/ math]

La única forma de que la desigualdad anterior sea satisfecha por la igualdad es si todos los límites inferiores anteriores se convierten en igualdades.