¿Por qué los quadrocopters calculan las rutas mínimas de snap (jounce)?

Ciertamente no soy un experto en robótica, pero he pasado el último año investigando métodos de síntesis de trayectoria para cuadrotorsores. También tuve la oportunidad recientemente de conversar sobre este tema con Vijay Kumar, quien originalmente propuso trayectorias mínimas de ajuste para los cuadrotors en su artículo de ICRA 2011 con Daniel Mellinger. Entonces ofreceré mi perspectiva.

Cuando le pregunté a Vijay Kumar por qué minimizó el snap y no alguna otra cantidad, su respuesta fue algo como:

Nos gustaría diseñar trayectorias eficientes, por lo que lo que realmente nos importa es minimizar el esfuerzo de control, pero lo hacemos indirectamente minimizando el ajuste.

Tenga en cuenta que estoy parafraseando la respuesta verbal de Kumar a mi pregunta lo mejor que pueda.

La respuesta verbal de Kumar es similar a la justificación dada en su documento ICRA 2011 (como ya señaló Michael Koval en esta pregunta de Quora):

“En nuestro sistema, dado que las entradas … aparecen como funciones de la cuarta derivada de las posiciones, generamos trayectorias que minimizan la integral del cuadrado de la norma del snap …”

Para ser claros, soy un gran admirador de este artículo. Pero siempre pensé que esta justificación para minimizar el snap era débil. Es cierto que las entradas de control para cuadrotorsores pueden escribirse como funciones de derivadas de trayectoria. Pero eso ciertamente no implica que minimizar cualquiera de estos derivados de trayectoria minimizará las entradas de control.

Aquí hay un ejemplo tonto de dibujos animados para ilustrar el punto. Considere la función [matemáticas] y = (\ log x) ^ 2 [/ matemáticas]. Si quiero minimizar [math] y [/ math], debo establecer [math] x = 1 [/ math], que establecerá [math] \ log x = 0 [/ math]. No llego a esta solución minimizando [matemática] x [/ matemática] o minimizando [matemática] \ log x [/ matemática], aunque [matemática] y [/ matemática] es claramente una función de [matemática] x [/ math], y [math] y [/ math] también es claramente una función de [math] \ log x [/ math].

De hecho, las entradas de control para cuadrotorsores son funciones bastante complicadas de derivadas de trayectoria. Si escribe las ecuaciones de movimiento para los cuadrotorsores, notará que el cálculo de las entradas de control a partir de derivadas de trayectoria implica la normalización de vectores, la inversión de funciones trigonométricas y las matrices de pseudoinversión. Basado en la complejidad de estos cálculos, no es obvio para mí que minimizar cualquier derivada de trayectoria en particular minimizará el esfuerzo de control.

(Anotar las ecuaciones de movimiento para los cuadrotors también revela por qué no es necesariamente fácil minimizar directamente el esfuerzo de control. Mellinger y Kumar usan una representación polinómica por partes para las trayectorias. Esta representación tiene varias propiedades deseables, pero no es fácil minimizar el esfuerzo de control en esta representación. Esto se debe a que el esfuerzo de control a lo largo de una trayectoria es una función no convexa de los coeficientes polinómicos utilizados para representar la trayectoria).

Dado que este problema es directamente relevante para mi propio trabajo, quería comprender mejor los efectos de minimizar las diferentes derivadas de trayectoria. Entonces hice un experimento. Primero, construí una trayectoria espiral sintética con una velocidad constante, y tracé las señales de control requeridas para que un quadrotor siguiera la trayectoria. Aquí está la trayectoria en espiral, y las señales de control resultantes para la hélice 0 en función del tiempo:

A continuación, configuré un grupo de puntos de referencia espaciados uniformemente a lo largo de la espiral. Sinteticé trayectorias polinómicas continuas C4 que conectan los puntos de referencia y tracé las señales de control resultantes como se indicó anteriormente. Para sintetizar las trayectorias, experimenté minimizando diferentes derivados polinomiales. También experimenté con el uso de polinomios de diferentes grados. Aquí están las señales de control resultantes para la hélice 0 como funciones del tiempo:

Tenga en cuenta que la escala vertical varía en cada subtrama.

Este experimento muestra que ciertamente no tiene que minimizar la cuarta derivada de una trayectoria polinómica de séptimo grado, como lo proponen Mellinger y Kumar. Si quisieras, también podrías minimizar la 5a derivada de un polinomio de noveno grado. Sin embargo, hacerlo no te compraría mucho en términos de minimizar el esfuerzo de control. De hecho, minimizar la cuarta derivada de una trayectoria polinómica de séptimo grado parece ser la forma más simple de producir señales de control suaves y razonablemente limitadas para cuadrotorsores cuando se utiliza una representación de trayectoria polinómica compacta.