(Esta es una pequeña elaboración de la respuesta del usuario).
En cualquier permutación, un elemento se denomina máximo de izquierda a derecha si es más grande que todos los elementos a su izquierda. Por ejemplo en la permutación
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Hay tres elementos: el 2, el 3 y el 4. En la permutación
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solo hay uno, el inicial 4. Estamos preguntando sobre el número esperado de LTR máximos en una permutación aleatoria.
Este es un buen ejemplo para el uso de variables indicadoras y la linealidad de la expectativa. Sea [math] I_k [/ math] una variable que es 1 si el elemento [math] k [/ math] th es un LTR máximo, y 0 en caso contrario. El número que buscamos es simplemente [matemáticas] I_1 + I_2 + \ ldots + I_n [/ matemáticas], y por lo tanto la expectativa de ese número es solo la suma de las expectativas [matemáticas] E [I_k] [/ matemáticas] que es el probabilidad [matemática] p_k [/ matemática] de que [matemática] I_k [/ matemática] es 1.
Pero en una permutación aleatoria, el orden de los primeros elementos [matemáticos] k [/ matemáticos] es un ordenamiento aleatorio de números [matemáticos] k [/ matemáticos], por lo que cualquiera de esos números es igualmente probable que sea el más grande entre la primera [matemática] k [/ matemática]. De ello se deduce que el elemento [matemática] k [/ matemática] es el más grande entre estos primeros [matemática] k [/ matemática] con probabilidad [matemática] 1 / k [/ matemática], entonces [matemática] p_k = \ frac { 1} {k} [/ matemáticas].
Como comprobación rápida: el primer elemento es siempre un máximo de izquierda a derecha, y de hecho [math] p_1 = 1 [/ math]. Es probable que el segundo elemento sea más grande que el primero que sea más pequeño, entonces [math] p_2 = \ frac {1} {2} [/ math], y así sucesivamente.
Finalmente, el número esperado [math] M [/ math] de LTR maxima es solo
[matemáticas] M = 1+ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ ldots + \ frac {1} {n} [/ matemáticas]
que está bastante cerca de [math] \ ln (n) [/ math].
