¿Cuál es el mejor método para resolver un problema de ‘cuál es el siguiente número en esta secuencia’?

Obtenga una idea de la tendencia general:

-Verifique si hay una primera diferencia común y constante entre los términos: este será un patrón lineal, en cuyo caso espera agregar una unidad constante al último término para obtener el siguiente término: T (n) = an + b (secuencia lineal).

-Si no hay una primera diferencia constante, compruebe si hay una segunda diferencia constante. Si esto es evidente, entonces puede esperar tener una secuencia cuadrática, en cuyo caso se espera que AGREGUE la diferencia constante al último término del término final en la línea de PRIMERAS DIFERENCIAS y luego AGREGUE esto al último término : T (n) = an ^ 2 + bn + c

Diferencias: d = T (n) -T (n-1)

-Compruebe una relación constante común entre términos: r = T (n) / T (n-1). Si este es el caso, multiplique el último término con r para encontrar el siguiente término. Esto se llama una secuencia geométrica. T (n) = a (r) ^ (n-1)

-Si ninguno de estos funciona, verifique si los términos no son resultados de exponenciación, por ejemplo. n ^ 2; n ^ 3, etc.

-Si todo lo demás falla, verifique si hay un patrón entre los términos pares e impares en la secuencia. Y, por último, utilice cualquier medio para encontrar la tendencia general si ninguna de estas tendencias específicas la corta. En la escuela secundaria o secundaria, estos métodos serían suficientes. Sin embargo, la universidad es una historia diferente.

-También familiarícese con secuencias populares como la proporción de oro de Fibonacci. Hace las cosas más fáciles.

Recuerde tratar de visualizar las relaciones también

El mejor método que se me ocurre sería el siguiente. Tenga en cuenta que estoy inventando esto sobre la marcha.

Paso 1. Verifique si hay patrones obvios en la pendiente en función de la secuencia, es decir, vea cómo cambian los datos con el tiempo. Creo que una buena forma de hacerlo sería graficar los datos que se le presentan y notar un patrón.

He trazado los datos, y vemos una ligera curva, con tendencia al alza de manera bastante constante. La pendiente está cambiando a un ritmo constante, como un reloj.
Graficando la pendiente en función del tiempo obtenemos esto:
La ecuación de esta línea es obvia:
f (x) = 2x + 1
Así que hemos descubierto que cada número en la secuencia aumenta en el siguiente número impar. Asi que:
n_ {1} = 2;
n_ {k + 1} = n_ {k} + 2 ^ {k} -1;

Paso 2.
Si no se producen patrones obvios a partir de los datos, ahora debe confiar en gran medida en la experiencia.
Siempre empiezo factorizando todo en números primos. Las personas que inventan estas secuencias tienden a amarlas.

A diferencia de las otras respuestas … no son números primos, al menos no la secuencia como está “ahora”:

2, 5, 10, 17, 26 …

Eso significa que los intervalos son: 3, 5, 7, 9 …

Si el último número fuera 28, entonces vería la secuencia de números primos agregados al anterior como respuesta. Pero 26 luego me dice que es simplemente la secuencia de números impares agregados al anterior donde 1 es la “posición inicial” sin formar parte del resultado.

Editar: para agregar una “complicación” adicional en algunos de estos. Puede ser que los números anteriores jueguen un papel en el siguiente, es decir, piense en Fibonacci. Y luego, para los “realmente” complicados, tiende a obtener híbridos en los que podría ser algo como agregar los 2 números anteriores al próximo número primo.

Edición 2: en realidad hay una segunda respuesta alternativa para la secuencia de muestra. 1 + n ^ 2
1 + 1 ^ 2 = 1 + 1 = 2
1 + 2 ^ 2 = 1 + 4 = 5
1 + 3 ^ 2 = 1 + 9 = 10
1 + 4 ^ 2 = 1 + 16 = 17
1 + 5 ^ 2 = 1 + 25 = 26
1 + 6 ^ 2 = 1 + 36 = 37
1 + 7 ^ 2 = 1 + 49 = 50

Cuando vea una secuencia como esta que está aumentando a un ritmo creciente, puede usar el método de diferencias comunes . Si la diferencia común de segundo nivel es la misma (no tiene que ser 2), es cuadrática. Usando su secuencia, sí, es un polinomio cuadrático del tipo más simple:

2 5 10 17 26
3 5 7 9
2 2 2 2

En este caso, la ecuación es simplemente X ^ 2 + 1, es decir, el cuadrado + 1 (1 * 1 + 1, 2 * 2 + 1, 3 * 3 + 1, etc.) Entonces la secuencia continúa: 37, 50 , sesenta y cinco ….

La derivación de la ecuación cuadrática es un poco más compleja de explicar, pero hay un par de buenas fuentes que lo llevan paso a paso. Uno está en Purplemath otro está en NumberSpiral.com.

Para cualquier secuencia empiezo siempre con (n + M) y luego trato de llenar las M con secuencia relativa.
Aquí para una serie: S = [2, 5, 10, 17, 26, …] se reduce a dos cosas.
(n = 2) y M = [0, [3, 5, 7, …] es decir, todos los números impares excepto 1]
Aunque yo diría que solo 5 nos es menor a cero en una secuencia adecuada.

En general, analice el patrón e intente probar su hipótesis utilizando prueba y error. Eventualmente, seguramente encontrarás el patrón y encontrarás el siguiente término en la secuencia.