La respuesta trivial es que [math] \ mathbb {Z} [/ math] contiene [math] 0 [/ math] porque así es como se define. Y eso es importante: nada nos impide definir un conjunto de todos los enteros sin [math] 0 [/ math]. Es técnicamente posible, incluso razonable.
Pero eso realmente solo cuestiona la pregunta. ¿Por qué se define [math] \ mathbb {Z} [/ math] de esta manera? ¿Por qué es este conjunto específico lo suficientemente interesante como para tener un nombre específico, mientras que la versión sin [math] 0 [/ math] no?
Y de hecho, esa es una pregunta razonable. [matemáticas] 0 [/ matemáticas] es un patito extraño en nuestra familia de números, que de otro modo sería feliz. No es ni positivo ni negativo. Algunas operaciones que nos interesan se comportan de manera extraña: [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] es a menudo una fuente de controversia. Cuando hablamos de números naturales en la teoría de números, nos gusta dejar [matemática] 0 [/ matemática] porque juega extrañamente con la multiplicación.
- ¿Son los problemas NP completos también problemas NP difíciles? ¿Por qué?
- ¿El algoritmo de Kruskal resuelve siempre el problema del vendedor ambulante?
- ¿Es posible que el modelo de espacio vectorial que utilizamos para entrenar algoritmos de aprendizaje automático sea inadecuado para la representación del aprendizaje humano?
- Cómo ser bueno en el desarrollo de algoritmos muy complejos
- ¿Codeforces tiene un problema de ética?
La respuesta, en mi opinión, es que hay más formas en que [math] 0 [/ math] hace que [math] \ mathbb {Z} [/ math] sea regular, y algunas de las formas en que se comporta de manera extraña son realmente cruciales para esto. Muchas operaciones aritméticas básicas que nos interesan son feas o al menos requieren un caso especial cuando falta [matemática] 0 [/ matemática] y los enteros en su conjunto tienen propiedades algebraicas más agradables que los enteros distintos de cero.
Una gran propiedad es que [math] 0 [/ math] hace que los enteros se cierren bajo la suma . Esto significa que si agregamos dos enteros, siempre obtendremos otro entero. Además, es la identidad para la suma. Agregar [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a cualquier cosa no lo cambia, y hace que los números positivos y negativos sean inversos adecuados entre sí ([matemáticas] a + (-a) = 0 [/ matemáticas]). En cierto sentido, [matemática] 0 [/ matemática] es una piedra angular en la estructura inherente de la suma y dejarla fuera realmente arruina la operación. Como la suma es una de las cosas más fundamentales que queremos hacer con los números, ¡el conjunto que nos interesa debe respetarlo! (Otra forma de decir todo esto es que [math] 0 [/ math] es necesario para que [math] \ mathbb {Z} [/ math] forme un grupo adicional. Los grupos son algo que nos interesan por muchas cosas diferentes razones, por lo que es importante que un conjunto forme un grupo correctamente).
Otra propiedad de [math] 0 [/ math] es que interactúa poderosamente con la multiplicación. Actúa como un elemento absorbente: [matemáticas] 0 \ veces x = 0 [/ matemáticas]. (Creo que esta es la razón por la que la teoría de números prefiere evitar [matemáticas] 0 [/ matemáticas], pero es realmente importante en otros contextos.) Al igual que [matemáticas] 0 [/ matemáticas] era una parte importante de la estructura de la suma, Es una parte importante de la estructura de la multiplicación. Y dado que es relevante para ambos, nos muestra una relación importante entre las dos operaciones. (Todo esto es lo mismo que decir que tener [math] 0 [/ math] permite que [math] \ mathbb {Z} [/ math] forme un anillo , lo cual es relevante por las mismas razones por las que es relevante formar un grupo).
Y, por supuesto, dejar [matemática] 0 [/ matemática] fuera hace que sea difícil contar. Estamos felices de pasar de [matemáticas] -3 [/ matemáticas] a [matemáticas] 3 [/ matemáticas] por [matemáticas] 1 [/ matemáticas] paso cada vez y caemos en un agujero. ¡Eso no es bueno!
Entonces, la respuesta larga y sinuosa es que [matemáticas] 0 [/ matemáticas] es crucial para todo tipo de estructura interesante que nos importa en números, por lo que el conjunto con [matemáticas] 0 [/ matemáticas] es mucho más interesante que el conjunto sin
