El primero es más pequeño que el último, en general.
Tenga en cuenta que las anotaciones [math] \ mathcal {o} [/ math] y [math] \ mathcal {O} [/ math] indican conjuntos de funciones. Por lo tanto, [math] 2 ^ {n ^ {o (1)}} [/ math] es un subconjunto de [math] 2 ^ {O (n ^ e)} [/ math].
[matemática] f (n) = \ matemática {o} (1) [/ matemática] significa que la función [matemática] f (n) [/ matemática] tiende a [matemática] 0 [/ matemática] como [matemática] n [/ math] se acerca a [math] \ infty [/ math]. Sin embargo, este enfoque a 0 puede ser lo suficientemente lento como para que [math] n ^ {f (n)} [/ math] y, por lo tanto, [math] 2 ^ { n ^ {f (n)}} [/ math], todavía puede estar creciendo a [math] \ infty [/ math]. Un ejemplo es [math] f (n) = \ frac {\ log \ log n} {\ log n} [/ math]. Sabemos [math] n ^ {f (n)} \ to \ infty [/ math] porque [math] \ log n ^ {f (n)} = f (n) \ log n = \ log \ log n [ /matemáticas].
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La notación [math] 2 ^ {O (n ^ e)} [/ math] indica que [math] e [/ math] es una constante positiva. Por lo tanto, [matemática] o (1) = o (e) [/ matemática] y [matemática] 2 ^ {n ^ {o (1)}} = o (2 ^ {n ^ e}) [/ matemática]. Además, si tenemos [matemática] f (n) = o (1) [/ matemática] y [matemática] g (n) = \ Omega (n ^ e) [/ matemática], para constante [matemática] 0 <e <1 [/ matemática], luego [matemática] 2 ^ {n ^ {o (1)}} = o (2 ^ {g (n)}) [/ matemática], que también se puede escribir como [matemática] 2 ^ {n ^ {o (1)}} = o (2 ^ {\ Omega (n ^ e)}) [/ math].
