Su pregunta es difícil de entender porque se está refiriendo a la notación específica de una exposición particular de la prueba, y nunca menciona cuál es. No puede esperar que todos sepan lo que significan la “máquina N” y la “máquina X”.
Mi mejor conjetura es que está pensando en la siguiente prueba (donde [math] \ langle M \ rangle [/ math] denota la representación de cadena de la máquina de Turing [math] M [/ math]):
Supongamos que el problema de detención se puede resolver con el decisor [math] H [/ math]. Entonces podríamos construir la siguiente máquina, que llamamos [math] D [/ math].
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En la entrada [matemática] \ langle M \ rangle [/ matemática]
- Ejecute [math] H [/ math] con la entrada [math] \ langle M, \ langle M \ rangle \ rangle [/ math]
- Si [math] H [/ math] respondió que sí , repítalo para siempre . Si
- Si [matemáticas] H [/ matemáticas] respondió que no , deténgase .
Esta máquina utiliza [matemática] H [/ matemática] como una subrutina simple y puede construirse muy fácilmente si existe [matemática] H [/ matemática].
Pero [math] D [/ math] es en sí una máquina de Turing. Entonces, ¿qué pasaría si ejecutamos [math] D [/ math] con su propia descripción [math] \ langle D \ rangle [/ math] como entrada?
- Si [math] D [/ math] se detuvo cuando se le dio entrada, [math] \ langle D \ rangle [/ math] entonces sería porque [math] H [/ math] había respondido que no. Esto implicaría que [matemática] D [/ matemática] no se detuvo cuando se le dio la entrada [matemática] \ langle D \ rangle [/ matemática] – recuerde lo que es [matemática] H [/ matemática] capaz de predecir.
- Si [math] D [/ math] no se detuvo cuando se le dio entrada, [math] \ langle D \ rangle [/ math] entonces sería porque [math] H [/ math] había respondido que sí. Esto implicaría que [matemática] D [/ matemática] se detuvo cuando se le dio la entrada [matemática] \ langle D \ rangle [/ matemática] – nuevamente recuerde lo que es [matemática] H [/ matemática] capaz de predecir.
Ambas posibilidades conducen a una contradicción. Entonces [math] D [/ math] no puede existir. El único componente no trivial que utilizamos para construir [matemáticas] D [/ matemáticas] fue [matemáticas] H [/ matemáticas], por lo que esto significa que [matemáticas] H [/ matemáticas] no puede existir.
Esta es una prueba por contradicción. Una prueba por contradicción de un teorema comienza asumiendo que el teorema es falso, lo que significa que el problema de detención es decidible. Luego mostramos que esta suposición conduce a una contradicción. En consecuencia, no puede darse el caso de que el teorema sea falso.
A veces, los estudiantes que ven esta prueba por primera vez dicen:
Pero entonces no deberíamos construir [matemáticas] D [/ matemáticas] – ¡construir esta máquina es lo que causa el problema! Si elegimos no construir [matemáticas] D [/ matemáticas], ¡entonces el problema de detención podría ser decidible!
Creo que tienes una objeción ingenua muy similar. Pero recuerde : en matemáticas, la verdad de una declaración no cambia porque elijo no mencionar los hechos que la contradicen.
¡No se da el caso de que todos los enteros sean pares, solo porque me prometo que nunca pensaré en números impares!
