Su pregunta, según tengo entendido, es la siguiente:
Suponga que tiene un regresor independiente como el índice de desarrollo humano IDH, que se calcula como una combinación lineal de tres componentes de la siguiente manera: IDH = (1/3) PIB + (1/3) LE + (1/3) EDU
¿Hay alguna diferencia entre incluir el IDH en el regresor o incluir (1/3) GDP + (1/3) LE + (1/3) EDU?
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La respuesta es que esto no tiene sentido. Considere la regresión:
[1] HCE = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4HDI
donde HCE es gasto en atención médica, X1-X3 son otros regresores y HDI es el índice de desarrollo humano.
El coeficiente de b4 es entonces el valor esperado de HCE dado X1, X2, X3, HDI mientras se mantienen constantes todos los demás factores, excepto HDI. Entonces, si el valor es 0.03, entonces aumentar HDI en 1 aumentará HCE en 0.03
Ahora imagine que hacemos esto:
[2] HCE = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4GDP + b5LE + b6EDU
Ahora está estimando un modelo completamente diferente, b4 será el efecto marginal del PIB, b5 será el efecto marginal de LE y b6 será el efecto marginal de EDU.
Que estas diciendo:
[3] HCE = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + (1/3) PIB + (1/3) LE + (1/3) EDU
Es lo mismo que hacer:
[1] HCE = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4HDI
Desde IDH = (1/3) PIB + (1/3) LE + (1/3) EDU
En un contexto de regresión, no puede establecer b4 = b5 = b6 = 1/3 porque el punto completo de la regresión es estimar esos pesos. Las especificaciones [1] y [2] estiman cosas completamente diferentes. Lo que está tratando de hacer es simplemente reemplazar HDI, que es una combinación lineal de factores que dan como resultado HDI, lo que dará como resultado la misma estimación que [1].
