En realidad, para agregar una palabra de precaución a estas respuestas diciendo que P = NP significaría que el cifrado de clave pública es inseguro, y todos los problemas famosos con pruebas cortas se probarían rápidamente, en realidad eso no se sigue en absoluto.
El tiempo polinomial no te dice nada sobre los coeficientes del polinomio. ¿Qué sucede si los coeficientes son todos del orden de 10 ^ (10 ^ 10) (1 seguido de 10,000,000,000 ceros) o más?
Incluso una solución en tiempo lineal no tendría ningún uso práctico si el coeficiente es enorme.
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Para tomar un ejemplo, supongamos que alguien encuentra una solución al problema del vendedor ambulante que requiere como máximo 10 ^ (10 ^ 10) * n pasos, donde n es el número de ciudades?
Esa es una solución de tiempo lineal, y si alguien encontrara una solución de este tipo, probaría P = NP, (porque es un problema completo de NP), serían inmediatamente famosos, pero no es una solución práctica.
No sería para nada sorprendente si apareciera con coeficientes realmente enormes como ese. Tal vez incluso los coeficientes que necesitan la notación de flecha hacia arriba de Knuth (de manera similar al número de Graham). Entonces aún sería un resultado teóricamente muy interesante, incluso si los coeficientes son demasiado grandes para expresarse con notación exponencial.
Por supuesto, muchos matemáticos trabajarían en la prueba para tratar de reducir el tamaño de los coeficientes, pero no hay una razón a priori por la que tengan que reducirlos en la medida en que sea prácticamente útil.