Siempre [1].
La idea es considerar una secuencia de bolas de radios crecientes, digamos [math] a_i = i [/ math]. Deje que [math] \ bar B (r) = \ {x \, | \, \ lVert x \ lVert \, \ le r \} [/ math] sea la bola centrada en cero, y tenga en cuenta que [math] \ bar B (r) [/ math] es compacto. Ahora, sabemos que una función continua alcanza un mínimo en un dominio compacto y, por lo tanto, [math] f [/ math] alcanza un mínimo en cada [math] \ bar B (a_i) [/ math].
Entonces, considere el minimizador de [math] f [/ math] sobre cada elemento de la secuencia, y deje que su valor sea [math] f (a ^ * _ i) [/ math], ya que la función es coercitiva, hay algunos punto bajo el cual [matemática] f (a ^ * _ k) \ le f (a ^ * _ 1) a_k [/ math] (por continuidad y el hecho de que la función diverge al infinito), y por lo tanto [math] a ^ * _ \ ell [/ math] para cualquier [math] \ ell \ ge k [/ math ] (ya que todos son iguales) es nuestro minimizador.
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[1] Ver aquí.
