Una integral bastante complicada que no parece tener una solución de forma cerrada. Si sustituye en la definición de divergencia KL [math] \ int – p (x) \ log \ frac {q (x)} {p (x)} dx [/ math], el pdf gaussiano univariante para p (x) y el estudiante univariante t para q (x), y separas log (q (x) / p (x)) usando identidades log, terminas con una suma de 3 integrales: una de las formas de un gaussiano univariante (que por supuesto tiene una solución), una que tiene la forma [math] \ exp (x ^ 2) x ^ 2 [/ math] (que tiene una solución), y otra de la forma [math] \ exp (x ^ 2) \ log (1 + x ^ 2) [/ math]. Estoy usando la frase “de la forma” en lugar de escribir todas las multiplicaciones con los parámetros constantes de la distribución en aras de llegar al punto. Mire lo que Wolfram Alpha tiene que decir sobre esa última integral:
Tal vez podría dar masajes a esta integral con suficiente inteligencia y obtener una solución. Tal vez podría usar un teorema como este para demostrar la ausencia de una solución (no lo intentaré porque no lo he visto antes y escribir para el público no es un buen lugar para estar equivocado). Tal vez solo le interesen las soluciones numéricas y esté contento con la expansión de la serie que wolfram alpha le ofrece.
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¿Surgió la divergencia KL entre los archivos PDF gaussianos y de estudiante-T en alguna situación en la que esperaría una respuesta significativa?
