Para que un núcleo sea válido, debe corresponder a una reasignación de la entrada a un nuevo espacio de características. Es decir, [math] K (x, y) = \ sum_i \ phi_i (x) \ phi_i (y) [/ math] para algunos (potencialmente infinitos) conjuntos de funciones básicas.
Tenemos dos funciones de núcleo válidas y queremos demostrar que multiplicarlas juntas mantiene esta invariante, dejándonos con un nuevo núcleo. Esto requiere algo de álgebra:
[matemáticas] K ^ {(1)} (x, y) K ^ {(2)} (x, y) = (\ sum_ {i} \ phi ^ {(1)} _ i (x) \ phi ^ { (1)} _ i (y)) * (\ sum_ {j} \ phi ^ {(2)} _ j (x) \ phi ^ {(2)} _ j (y)) [/ math]
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[matemáticas] K ^ {(1)} (x, y) K ^ {(2)} (x, y) = \ sum_ {i, j} \ phi ^ {(1)} _ i (x) \ phi ^ {(2)} _ j (x) \ phi ^ {(1)} _ i (y) \ phi ^ {(2)} _ j (y) [/ math]
Podemos definir [math] \ phi_k (z) = \ phi ^ {(1)} _ i (z) \ phi ^ {(2)} _ j (z) [/ math] porque cada [math] \ phi [/ math ] la función genera un escalar. Por lo tanto, finalmente podemos escribir:
[matemáticas] K_1 (x, y) K_2 (x, y) = \ sum_ {k} \ phi_k (x) \ phi_k (y) [/ matemáticas]
Esto muestra que el producto de dos núcleos crea una función con la misma invariante con la que comenzamos. Por lo tanto, el producto de dos núcleos es un núcleo.
Además, esto refleja una de las propiedades ordenadas de los núcleos. Después de multiplicar, nuestro espacio de características reasignadas es efectivamente más grande por un cuadrado. Sin embargo, en realidad no es necesario calcular las funciones reasignadas para usar un núcleo, por lo que nuestro costo computacional solo aumenta de forma lineal (porque solo necesitamos calcular las dos funciones del núcleo y multiplicar las salidas).
