En F (n) -F (n-1) = n ^ 8, ¿qué es F (n)?

Encontremos la solución general para

[matemáticas] F (n) -F (n-1) = n ^ k [/ matemáticas]

donde [matemática] n \ in \ N [/ matemática] y [matemática] k \ in \ Z [/ matemática].

Recuerde las definiciones de la función zeta de Riemann [matemática] \ zeta (s) [/ matemática] y la función zeta de Hurwitz [matemática] \ zeta (s, a) [/ matemática]:

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s): = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s} [/ matemáticas]

(para [matemáticas] s> 1 [/ matemáticas])

y

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s, a): = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {(n + a) ^ s} [/ matemáticas]

(para [matemática] s> 1 [/ matemática], [matemática] a> 0 [/ matemática]).

Para ambas funciones existen continuaciones analíticas.

Entonces

[matemáticas] F (n) = F (0) + \ zeta (-k) – \ zeta (-k, n + 1) [/ matemáticas]

Ahora concentrémonos en [matemáticas] k = 8 [/ matemáticas].

Para [matemática] k = 8 [/ matemática], [matemática] \ zeta (-k) = 0 [/ matemática], ya que [matemática] \ zeta (n) = 0 [/ matemática] siempre que [matemática] n [/ matemáticas] es un número par negativo.

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle F (n) = F (0) – \ zeta (-8, n + 1) = F (0) – \ frac {1} {9} \ left (- (n + 1) ^ 9 + \ frac {9} {2} (n + 1) ^ 8-6 (n + 1) ^ 7 + \ frac {21} {5} (n + 1) ^ 5-2 (n + 1) ^ 3 + \ frac {3} {10} (n + 1) \ right) = F (0) – \ left (\ frac {n ^ 9} {9} + \ frac {n ^ 8} {2} + \ frac {2 n ^ 7} {3} – \ frac {7 n ^ 5} {15} + \ frac {2 n ^ 3} {9} – \ frac {n} {30} \ right) [/ math]

Esto es prácticamente lo mismo que la otra pregunta que planteó, donde tuvo la relación de recurrencia que [matemáticas] F (n) – F (n-1) = n [/ matemáticas]; la diferencia aquí es que en lugar de [matemáticas] F (n) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k} + F (0) [/ matemáticas], será [matemáticas] F (n) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 8} + F (0) [/ math] por exactamente la misma derivación.

Esto es molesto como el infierno para encontrar una fórmula de forma cerrada para hacerlo a mano, y hacerlo requeriría una derivación similar a la que hice aquí, pero honestamente no tiene sentido hacerlo a menos que disfrute el álgebra de memoria.

Wolfram da [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 8} [/ matemáticas] como [matemáticas] \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} [/ matemáticas]

Significado [matemáticas] F (n) = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} { 90} + F (0) [/ matemáticas]

EDITAR: Parece que ha incluido una porción adicional a sus detalles diciendo que “Usar una fórmula ya conocida (Wolfram) no se considera una respuesta válida”. Realmente odio decírtelo, pero si cree que hay algo “truco” mágico que te permitirá obtener la forma cerrada de [math] \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 8} [/ math] entonces te equivocas. Si realmente está decidido a hacerlo a mano, tendrá que comenzar en [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k} [/ matemáticas], [matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 2} [/ math], [math] \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k ^ 3} [/ math], y sigue trabajando desde allí.

Usted ve si resta x ^ m – (x-1) ^ m su valor es polinomial de orden m – 1.

Entonces tienes n ^ m – 0 ^ m = suma {i en N, 1 <= i <= n} w (i) por inducción. Después, puede incluir la suma {i en N, 1 <= i <= n} x ^ m-1, mediante el valor elaborado de {i en N, 1 <= i <= n} x ^ k, donde k <= m-2 por inducción. Debes leer Matemáticas concretas - Wikipedia para obtener más información.