¿Cuántas repeticiones del algoritmo L, U, R, D en un cubo de Rubik se necesitarían para revertir el cubo a su permutación original?

Necesitamos enumerar las distintas duraciones de ciclo para la permutación resultante de las etiquetas. Al observar la permutación de las piezas de la esquina, vemos uno de 3 ciclos y 5 de 1 ciclo. Cada 1 ciclo (esquina giratoria en su lugar) da como resultado un ciclo 3 de las pegatinas en la esquina. Para el ciclo de 3 piezas de esquina, cuando una esquina vuelve a su posición inicial, sus pegatinas se han girado en su lugar. Por lo tanto, tomará un total de 3 de estos 3 ciclos de curvas para que puedan regresar con sus orientaciones iniciales. Esto equivale a un ciclo de 9 pegatinas de esquina. Para las piezas de borde, hay un ciclo de 7 y un ciclo de 5. En este caso, las pegatinas todavía están orientadas en la dirección original cuando vuelven a girar. Por lo tanto, las longitudes de ciclo de las etiquetas de borde son 5 y 7. Por lo tanto, el conjunto completo de longitudes de ciclo para las etiquetas es {3, 5, 7, 9}. El mínimo común múltiplo de esos es el producto de los últimos 3, 315.

Entonces, después de realizar esa secuencia de 4 turnos 315 veces, el rompecabezas volverá a su estado inicial.

(Puede ‘semi-verificarlo’ deteniéndose en 3, 5, 7 y 9 repeticiones para observar que las piezas para el subconjunto relevante vuelven a sus situaciones iniciales).

(Por cierto, la forma en que “veo” la permutación es simplemente mirar el rompecabezas después de aplicar la secuencia de turno una vez. Digo: “Esta pegatina vino de aquí. La pegatina que está allí ahora vino de aquí. Etc.”, hasta Vuelvo a la pieza en la que comencé. Cuente los pasos. Nada lujoso.)