¿Se supone que hay paréntesis alrededor de la “x + i”, de modo que si el límite superior del producto es 2 entonces product = (x + 1) (x + 2)?
Llame N al límite superior del producto y No al número de coeficientes impares para un valor dado de N. Dado que No siempre es una potencia de 2, solo necesitamos considerar lNo = Log_2 (No). Por lo tanto, todos los registros son Log Base 2.
No sé cómo probar las siguientes afirmaciones, pero espero que saber la respuesta ayude. Sería mejor hacer esto con la generación de funciones. Lo siguiente se concluyó mirando el patrón.
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Tienes que descubrir cómo No varía entre N = 2 ^ K y N = 2 ^ (K + 1). Parece factible
EDITAR: CÓDIGO MODIFICADO DE MATEMÁTICA PARA APROVECHAR EL HECHO DE QUE SU PRODUCTO ES EL SÍMBOLO DE POCHAMMER. Nuevamente, N es el límite superior de su producto.
nMax = 256;
out = Table [{n, No = Count [OddQ [CoefficientList [Pochhammer [1 + x, n], x]], True]; Log [2, No]}, {n, 1, nMax}];
Esto toma 8 segundos en mi computadora portátil. Tarda aproximadamente un minuto con nMax = 512;
Los primeros ocho valores de (N, Log (2, No) son:
{1, 1}, {2, 1}, {3, 1}, {4, 1}, {5, 2}, {6, 2}, {7, 1}, {8, 1} lo que significa que ( x + 1), (x + 1) (x + 2), (x + 1) (x + 2) (x + 3) y (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) todos tienen 2 coeficientes impares. Entonces (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) y (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) (x + 6) tienen 4 coeficientes impares y (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) (x + 6) (x + 7) y (x +1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) (x + 6) (x + 7) (x + 8) ambos tienen 2 coeficientes impares.
El patrón (4,2,2) siempre se repite. Así podemos simplemente enumerar trillizos. Al final de esta publicación, proporciono el código de Mathematica que solo genera los trillizos. Generó los primeros 256 trillizos en aproximadamente una hora. No ejecuté el temporizador, pero los últimos trillizos tardaban unos 25 segundos en crearse. Esto corresponde a todos sus productos para límites superiores entre 1 y 2048.
El primer triplete es (1,2,1), lo que significa que los primeros 4 valores de Log (2, No) son 1. Luego, el quinto y sexto son 2 y el séptimo y octavo son nuevamente 1.
Para enumerar los valores de No de 2 ^ K + 1 a 2 ^ (K + 1) comenzamos desde K = 3 y escribimos trillizos. El primer triplete después de N = 8 es 2-3-1, estos son los valores de Log (2, No) (Log base 2). Hay 4 de la primera, 2 de la segunda y 2 de la 3ra. El número de entradas es siempre 4–2–2, por lo que un triplete corresponde a 8 N valores distintos. Así tenemos
(N, Log (No)) =
(9,2) (10,2), (11,2), (12,2), (13,3), (14,3), (15,1), (16,1) para el N- Log (No) se empareja a medida que N va de 9 a 16.
Estos 8 valores se resumen en el triplete (2,3,1). El triplete (2,3,1) significa que los primeros 4 valores de lNo son 2, luego los valores 5 y 6 son 3, y finalmente el 7 y 8 son 1.
En general, solo necesitamos los trillizos entre 2 ^ K + 1 y 2 ^ (K + 1). El último triplete antes de 2 ^ K es: (K-2, K-1,1). Del mismo modo, el último triplete antes de 2 ^ (K + 1) es (K-1, K, 2).
Cada triplete corresponde a ocho N distintas, por lo que hay 2 ^ (K-3) tripletes entre 2 ^ K + 1 y 2 ^ (K + 1).
El 2 ^ m th triplete después de N = 2 ^ K es: (m + 2, m + 3,2). Claramente entonces el
2 ^ (m + 1) th triplete después de N = 2 ^ K es (m + 3, m + 4,2).
Los 2 ^ m -1 tripletes entre 2 ^ my 2 ^ (m + 1) -1 se pueden generar agregando (1,1,1) a cada triplete después de 2 ^ K. Aquí enumero los trillizos para N = 2 ^ 8 a N = 2 ^ 9. Estos son los 256 valores de N distintos de 257 a 512. Hay 32 tripletes (porque cada triplete corresponde a 8 valores de N distintos). Primero escribo el triplete y luego alguna anotación, ya sea el valor m si se trata de un triplete 2 ^ m o el triplete anterior del que se deriva (añadiéndole el triplete 1,1,1).
K = 8
2,3,2 (m = 0)
3,4,2 (m = 1)
3,4,3 (2,3,2 + 1,1,1)
452 (m = 2)
343 (2,3,2 + 1,1,1)
453 (3,4,2 + 1,1,1)
454 (3,4,3 + 1,1,1)
562 (m = 3)
343 (2,3,2 + 1,1,1)
453 (3,4,2 + 1,1,1)
454 (3,4,3 + 1,1,1)
563 (4,5,2+ 1,1,1)
454 (3,4,3 + 1,1,1)
564 (4,5,3 + 1,1,1)
565 (4,5,4 + 1,1,1)
672 (m = 4)
343 (Desde aquí hasta el próximo al último trío, comience con los trillizos al principio de la lista y agregue 1,1,1).
453
454
563
454
564
565
673
454
564
565
674
565
675
676
781 (K + 1–2, K + 1–1, 1)
jMax = 255;
ojo = {1, 5, 7};
Tabla [k = 8 j;
Imprimir [Tabla [
Iniciar sesión [2, Count [
OddQ [CoefficientList [Pochhammer [1 + x, k + eye [[i]]], x]],
Verdadero]], {i, 1, 3}]],
{j, 0, jMax}]
