Si calcula el determinante por eliminación gaussiana (digamos, usando filas) para obtener la matriz en una forma diagonal, entonces los pasos son bastante claros. Para simplificar, no usemos el escalado de las variables, ya que podemos evitarlo.
Si intercambias filas, equivale a una simetría del espacio y el volumen no cambia. Sin embargo, el signo cambia debido al cambio de orientación.
Si agrega un múltiplo de una fila a otra fila, equivale a algún tipo de operación de inclinación (por falta de una mejor palabra) que mantiene el volumen y la orientación sin cambios.
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Al final, enderezaste tu paralelepípedo n-dimensional en una caja, y su volumen es el producto de sus lados (también hay signos involucrados, pero ignoremos).
Nada de lo anterior tiene sentido si su matriz tiene coeficientes que no son números reales, y de hecho es común calcular determinantes donde las entradas son números complejos, o polinomios, o elementos de un campo finito. Por lo tanto, existen límites para la utilidad de este tipo de visualizaciones.
