A riesgo de darle una respuesta “que todo depende”, realmente es algo que requiere algo de preparación.
Pero para responder directamente a su pregunta, no hay forma de que pueda ver el historial del navegador utilizando el enrutador. El historial del navegador se encuentra en la computadora cliente, que controla el enrutador realmente no le da acceso.
Sin embargo, suponiendo que lo que realmente desea es poder ver a qué sitios de Internet alguien más ha estado utilizando su enrutador para acceder, esto puede hacerse mediante la aplicación inteligente de un proxy y registro, si su enrutador particular es capaz de hacerlo . Por experiencia, sé que los enrutadores que tienen el sistema operativo DD-WRT instalado pueden hacer esto, pero el servicio de proxy transparente y el registro deben configurarse antes del uso del enrutador para que se registre el tráfico. Entonces, si su enrutador tiene la capacidad y ha seguido estos pasos con anticipación, puede ver a qué se ha utilizado para acceder.
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Esto nos lleva al tema de la privacidad. Dada la naturaleza de su pregunta, voy a suponer que quiere ver qué hace un miembro de la familia o un colega en Internet, pero no tiene acceso a su computadora. Lo que está tratando de hacer puede ser ilegal o no, dependiendo de dónde se encuentre, pero ciertamente es moralmente incorrecto. Sí, permite que otras personas usen su conexión a Internet, pero me siento seguro al decir que este permiso no se otorgó con la condición de que se reservara el derecho de monitorear su uso de Internet. Por lo tanto, el usuario tiene una expectativa de privacidad, que está tratando de violar.
¿Las personas usan su wifi sin permiso? Cambia tu contraseña y deja de decirle a la gente qué es. ¿Te preocupa que los miembros de la familia estén viendo porno? Diles que paren. ¿Crees que tu esposa te está engañando? Hablar con ella.
Y si va a comenzar a monitorear el tráfico de la red, informe a sus usuarios que lo hará. De esa forma, le está quitando sus expectativas de privacidad, y lo que está haciendo es legal y moralmente correcto.