Encontrar inverso de una matriz [matemática] A [/ matemática] significa que queremos encontrar una matriz [matemática] B [/ matemática] tal que [matemática] AB = BA = I. [/ Matemática] Ahora, es un hecho agradable * que si las matrices cuadradas [matemáticas] A, B [/ matemáticas] satisfacen [matemáticas] AB = I [/ matemáticas] entonces también satisfacen [matemáticas] BA = I. [/ matemáticas] Entonces, dada una matriz cuadrada [matemáticas] A [/ math], podemos buscar [math] B [/ math] que satisfaga ya sea [math] AB = I [/ math] o [math] BA = I. [/ math] Y de ahí vienen las ‘dos formas’ : operaciones de fila y operaciones de columna.
¿Cuál es la idea básica detrás de estas dos operaciones? La intuición básica es que, si se le da un sistema de ecuaciones, puede sumar (o restar) múltiplos de una ecuación de la otra.
Suponga que quiere encontrar el inverso de:
[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} 2 y 3 \\ 1 y 2 \ end {bmatrix} [/ math]
Ahora suponga que desea encontrar una matriz [matemática] 2 \ times2 [/ matemática] [matemática] B [/ matemática] que satisfaga [matemática] AB = I. [/ Matemática] Esto puede escribirse como un sistema de ecuación
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 2 y 3 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 1 y 0 \ end {bmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 2 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 0 y 1 \ end {bmatrix} [/ math]
Ahora, si podemos dividir la primera ecuación por 2, restarla de la segunda, para llegar a
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1.5 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 0.5 y 0 \ end {bmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 y 0.5 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} -0.5 y 1 \ end {bmatrix} [/ math]
Luego restamos 3 veces la segunda ecuación de la primera y finalmente multiplicamos la segunda ecuación por 2, y obtenemos
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 2 y -3 \ end {bmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} -1 & 2 \ end {bmatrix} [/ math]
Y esto es lo mismo que escribir [matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 2 & -3 \\ – 1 & 2 \ end {bmatrix}. [ /mates]
Observe que no hicimos nada más que sumar (o restar) múltiplos de una ecuación de la otra, lo que resulta ser sumar (o restar) múltiplos de filas de [matemáticas] A, [/ matemáticas] y, por lo tanto, se denominan ‘ operaciones de fila ‘. Entonces, para encontrar [matemáticas] B [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] AB = I, [/ matemáticas] tenemos que hacer operaciones de fila en [matemáticas] A, [/ matemáticas] para reducirlo a [matemáticas] I, [/ math] y luego las mismas operaciones en [math] I [/ math] nos dan los [math] B requeridos. [/ math] Es por eso que podemos encontrar [math] B [/ math] haciendo operaciones de filas en [matemáticas] (A | I) [/ matemáticas] lado a lado.
¿Qué más podriamos hacer? En su lugar, podemos buscar una matriz [matemática] 2 \ times2 [/ matemática] [matemática] B [/ matemática] que satisfaga [matemática] BA = I [/ matemática] [matemática]. [/ Matemática] Esto es lo mismo que decir [matemáticas] A’B ‘= I [/ matemáticas] (tomando transposición en ambos lados). Y como ya vimos anteriormente, esta [matemática] B ‘[/ matemática] se puede encontrar haciendo operaciones de fila en [matemática] A’. [/ Matemática] Entonces [matemática] B [/ matemática] se puede encontrar haciendo fila operaciones en [matemáticas] A ‘[/ matemáticas] y luego tomar la transposición. Espera, ¿cuáles son las filas de [math] A ‘? [/ Math] Son solo columnas de [math] A. [/ Math] Entonces encontrar [math] B [/ math] resulta estar haciendo las mismas operaciones en columnas de [math] A. [/ math] Y, por lo tanto, se llaman ‘ operaciones de columna ‘ .
Creo que ahora ha entendido por qué hacemos operaciones de fila para [math] AB = I [/ math] y operaciones de columna para [math] BA = I. [/ Math] Es solo porque los dos tipos de operaciones surgen de estos.
* Si no conocía el hecho establecido al principio, aquí está la prueba: suponga que para las matrices cuadradas A, B, C, AB = I y CA = I. Entonces, C = CI = C (AB) = (CA) B = IB = B. Por lo tanto demostrado!
