¿Cuál es la relación entre covarianza cero e independencia? ¿Cuáles son ejemplos en la ciencia de variables que no son independientes pero tienen cero covarianza?

Otro lindo ejemplo de variables dependientes aleatorias con covarianza 0: deje que [math] S [/ math] sea un signo aleatorio independiente de [math] Z [/ math] una variable normal unitaria. Entonces [matemática] Z [/ matemática] y [matemática] SZ [/ matemática] son ​​ciertamente dependientes pero [matemática] cov (Z, SZ) = E [SZ ^ 2] = E [S] E [Z ^ 2] = 0. [/ matemáticas]

Además de las respuestas anteriores, agregaría que la distinción se vuelve cada vez más importante con más variables.

Suponga que tiene diez variables binarias, cada una con un 10% de posibilidades de ser 1 y un 90% de posibilidades de ser cero.

Si son independientes, la probabilidad de que todo sea 1 es 0.1 ^ {10} y la probabilidad de que todo sea 0 es 0.9 ^ {10} = 0.3487.

La covarianza cero solo significa que la probabilidad de que cualquier par de ellos sea 1 es 0.1 ^ 2 = 0.01. Con dos variables, eso es lo mismo que independencia. Pero con diez es bastante diferente.

Imagine que tiene cien trozos de papel en un sombrero, y va a sacar uno para determinar cuál de las diez variables será 1.

Debe escribir cada variable en diez trozos de papel para tener una probabilidad de 0.1 de 1.

Tienes que escribir cada par de números en una hoja de papel para tener una probabilidad de 0.01 de que ambos son uno.

Pero cualquier asignación que cumpla estas dos condiciones significa cero covarianza. Puede poner todas las variables en una hoja de papel, cada variable sola en nueve hojas, y dejar nueve hojas en blanco. Ahora la probabilidad de diez 1 es 0.01 en lugar de 0.0000000001. La probabilidad de cero 1 es 0.09 en lugar de 0.3487.

Otra tarea es poner cada par de nombres en un recibo cada uno, 45 recibos en total. Pones cada variable sola en otro deslizamiento. dejando 45 hojas en blanco. Ahora la probabilidad de diez 1 es cero, también la probabilidad de tres o más 1. La probabilidad de cero 1 es del 45%.

Hay 287 formas diferentes de colocar variables en los deslizamientos que tienen cero covarianza, la mayoría de ellas conducen a distribuciones multivariadas muy lejos de la independencia.

Otra advertencia es que en este ejemplo, cada par de variables es independiente; pero todas las variables pueden estar muy lejos de ser independientes.

Hay una clase general de distribuciones multivariadas conocidas como distribuciones esféricamente simétricas que tienen esta propiedad. En resumen, una distribución sobre [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] con una densidad [math] f [/ math] es esféricamente simétrica si la densidad tiene la propiedad de que [math] f \ left (\ vec {x} \ right) = g \ left (|| \ vec {x} || ^ 2 \ right) [/ math] para alguna función escalar [math] g [/ math]. La distribución gaussiana multivariada estándar es un ejemplo simple, pero también lo son las generalizaciones multivariadas de la distribución T del estudiante.

Si un vector aleatorio [math] \ vec {X} [/ math] tiene una distribución esféricamente simétrica y su matriz de covarianza existe, entonces esa matriz de covarianza es de la forma [math] cI_n [/ math], donde [math] I_n [ / math] es la matriz de identidad de la dimensión apropiada y [math] c [/ math] es algo constante. Como resultado, cada distribución simétrica esférica tiene componentes no correlacionados. Sin embargo, la distribución gaussiana multivariada es la única distribución esférica que tiene componentes independientes.

Hay una buena reseña en http://aurelie.boisbunon.free.fr … que tiene este resultado como su Teorema 1 (aunque no se proporciona la prueba). También tiene una tabla de las distribuciones simétricas esféricas comunes, la mayoría de las cuales son nuevas a menos que se especialice en estadísticas multivariadas.

x y x ^ 2 son dependientes con cero covarianza sobre [-1, 1], al igual que las tasas de interés reales y su volatilidad, dependientes pero con correlación cero de vez en cuando y en algunas ventanas (aunque IR arriba generalmente significa vol arriba). x y abs (x) es otro ejemplo.

Más técnicamente, la covarianza se aplica a ciertas clases de variables aleatorias y cuanto más se asemeja la variable a las variables gaussianas, más se acerca su importancia a lo que le dice la intuición. Pero si toma variables tales que no hay una media … entonces aún puede tener sentido medir la covarianza si las variables están cointegradas, es decir, una combinación lineal de las dos, vista a través de algunos filtros (Arima y similares) es un “ruido blanco”