Ese es un buen postulado! Lo expondré aquí:
Por cada entero positivo n, hay un primo entre n y 2n.
Con su historia pasando por Ramanujan y Chebyshev, dos grandes matemáticos históricos, realmente debería haber oído hablar de este antes. ¡Es encantador! Aquí hay una prueba que es bastante fácil de seguir: Prueba del postulado de Bertrand – Wikipedia, así que lo que haré es proporcionar comentarios al respecto.
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¡Considere el coeficiente binomial central [matemáticas] {{2n} \ elegir {n}} [/ matemáticas], o [matemáticas] \ frac {(2n)!} {N! n!} [/ math], que llamaré CBC ( n ). Se puede reconocer fácilmente como el coeficiente medio en la expansión binomial de [matemáticas] (x + 1) ^ {2n} [/ matemáticas]:
[matemáticas] (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x +1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x +1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + 1) ^ 6 = \ cdots + 20 x ^ 3 + \ cdots [/ math]
[matemáticas] (x + 1) ^ 8 = \ cdots + 70 x ^ 4 + \ cdots [/ math]
Entonces CBC (1) = 2, CBC (2) = 6, CBC (3) = 20, CBC (4) = 70, y así sucesivamente. Intente tomar sus factorizaciones de potencias primarias y verá que generalmente se trata de potencias relativamente pequeñas de primos relativamente grandes.
Hay una forma intuitiva de entender esto: puede escribir CBC ( n ) como el producto de los números de n + 1 a 2 n , dividido por el producto de los números del 1 al n . Pero aparecerán muchos factores primos pequeños tanto en numerador como en denominador; El postulado de Bertrand (si es cierto) establece que hay al menos un primo grande en algún lugar del numerador que escapa a la división y, por lo tanto, contribuye en gran medida multiplicativamente al gran valor eventual de CBC ( n ), que crece un poco más lento que exponencialmente en n .
La estructura de la prueba de Erdős es la siguiente:
- Encuentre un límite inferior en CBC ( n ) que no dependa de sus factorizaciones. (Este es el Lema 1 en la prueba de Wikipedia).
- Limite los poderes de los primos pequeños que pueden contribuir al CBC ( n ) (Lemmas 2 y 3), y su producto final (Lemma 4).
- Utilizando estos, construya un “límite superior” falso para CBC ( n ) suponiendo que solo existan números primos más pequeños que n ; si el postulado de Bertrand es falso, no existe un primo grande entre ny 2 n para incorporar el producto final, asi que
- El “límite superior” para CBC ( n ) resultará ser más pequeño que el límite inferior de Lemma 1, para n lo suficientemente grande (sin el cebado grande, el producto no crece lo suficientemente rápido). Pero esto es una contradicción, lo que demuestra el postulado de Bertrand por encima de algunos n críticos.
- Pero probar el postulado a continuación que n es una cuestión de inspeccionar directamente un número finito de casos omitidos. Al hacer eso, el postulado de Bertrand ahora está probado para todos los n mayores que 1.
Tener una estructura como esa en su lugar es esencial para seguir los Lemmas y ver cómo se combinan en una prueba. El lema 1 es un límite inferior (muy suelto) para CBC ( n ): ponga x = 1 en las expresiones binomiales anteriores, tenga en cuenta que todos los términos son como máximo CBC ( n ) (¡un poco insuficiente!), Que hay 2 n – 1 de tales términos, y obtienes (un poco mejor que) el límite dado.
(Es fácil hacerlo mucho mejor, lo que contribuye en parte a la mejora de Tochiori).
El lema 2 limita cualquier contribución de potencia principal a CBC ( n ) a como máximo 2 n , formalizando el argumento que hice anteriormente (los números primos pequeños se muestran tanto en numerador como en denominador). Una especialización de Lemma 2 muestra que cualquier primo p mayor que [math] \ sqrt {2n} [/ math] aparece como máximo una vez en la factorización de CBC ( n ) (una contribución de [math] p ^ 2 [/ math] sería mayor que 2 n , contra Lemma 2). Lemma 3 se vuelve más nítida y elimina los primos p (más pequeños que n ) lo suficientemente grandes como para que p y 2 p aparezcan en el numerador, pero no 3 p (por lo tanto, p más grande que 2 n / 3). Dado que p también aparece exactamente dos veces en el denominador, desaparece de la factorización final de CBC ( n ) después de la cancelación.
Al unir todo esto, uno puede factorizar CBC ( n ) en sus poderes principales de la siguiente manera:
- Primes más pequeños que [math] \ sqrt {2n} [/ math]: hay como máximo [math] \ sqrt {2n} [/ math] de esos (de nuevo, ¡un límite bastante suelto!), Y con cada poder contribuyendo a most 2 n , su contribución es a lo sumo [math] (2n) ^ {\ sqrt {2n}} [/ math].
- Primes entre [math] \ sqrt {2n} [/ math] y 2 n / 3: se muestran como máximo una vez, por lo que se contarán (con algunos números primos extra pequeños) en el primorial de 2 n / 3 (ver más abajo )
- Primes entre 2 n / 3 yn – no aparecen (Lema 3)
- Primes entre ny 2 n : no existen (suponemos que el postulado de Bertrand es falso)
Todos estos multiplicados juntos unen CBC ( n ) al factor 1, multiplicado por el primitivo de 2 n / 3, que es simplemente el producto de todos los primos menores que 2 n / 3. (Notará que una vez hemos excedido los números primos realmente pequeños del factor 1, ¡esto no es en absoluto un límite estrecho!) Una vez que unimos el primorial (Lema 4), tenemos un límite superior para CBC ( n ), que podemos comparar con el límite inferior (Lema 1) generando una contradicción para n > 467. Los siguientes casos se pueden resolver mediante inspección, terminando la prueba.
La prueba de Tochiori mejora esto de las siguientes maneras:
- Lemma 1 ‘da un límite más estrecho desde abajo para CBC ( n ), por inducción;
- El Lema 5 da un límite más estricto desde arriba para la contribución total de números primos menores que [math] \ sqrt {2n} [/ math], al descartar todos los números, excepto los que divididos por 6, dan un resto de 1 o 5 (que arroja dos tercios de los números pequeños con un esfuerzo mínimo);
- Reescribiendo la contribución final como una razón de primarios (el producto de todos los primos de [matemáticas] \ sqrt {2n} [/ matemáticas] a 2 n / 3 es el primorial de 2 n / 3 dividido por el primorial de [matemáticas] \ sqrt {2n} [/ math]), que da un factor de 6 bajadas del límite superior.
Eso consigue la contradicción para n > 64, ahora, haciendo la prueba un poco más ordenada.
