¿Son todos los problemas de programación cuadrática convexos?

No. En realidad, hay documentos sobre esto: sobre programación cuadrática no convexa con restricciones de caja.

Dada una función objetivo:

[matemáticas] f (\ vec {x}) = \ vec {x} ^ TA \ vec {x} [/ matemáticas]

, con algunas limitaciones. En este caso, tendrá que mirar la matriz de Hesse para decidir la convexidad. Si la matriz de Hesse, a saber

[mates] \ mathcal {H} = \ frac {\ partial ^ 2f (\ vec {x})} {\ partial ^ 2 \ vec {x}} = \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {x} ^ TA \ vec {x}} {\ partial ^ 2 \ vec {x}} = A [/ math]

, es positivo semi-definido , es decir, [matemáticas] \ vec {x} ^ TA \ vec {x}> = 0, \ forall \ vec {x} [/ matemáticas], entonces la función es convexa, que contiene un mínimo global; Si el hessiano es semi-definido negativo , entonces la función es cóncava , que contiene un máximo global; De lo contrario, el problema contiene una función objetivo no convexa , es decir, el problema no es convexo.

No Si [matemática] A [/ matemática] no es semidefinida negativa, el problema es no convexo y bastante difícil.

No. Hay formas de formular 3SAT como un problema de programación cuadrática, pero como saben, eso es NP completo. Encontrar los estados fundamentales de un problema arbitrario de Ising es NP-difícil. Teniendo en cuenta estos problemas, es obvio que puede hacer un problema cuadrático que no sea convexo (de lo contrario, el descenso de gradiente sería el único algoritmo que necesitaríamos para problemas difíciles). Mirar la matriz cuadrática para una definición positiva es suficiente para decir que el problema será fácil de resolver.