Aquí está la respuesta exacta a su pregunta (probablemente no lo que esperaba):
Para obtener la solución anterior, observe que la ecuación es una ecuación de diferencia lineal homogénea con la ecuación característica [matemática] t ^ {3} -3t ^ 2 + 7t – 9 = 0 [/ matemática] resuelva esta ecuación y luego sustituya [matemática] T (i) = At_1 ^ i + Bt_2 ^ i + Ct_3 ^ i [/ math] donde [math] t_1 [/ math], [math] t_2 [/ math] y [math] t_3 [/ math] son los tres Las raíces de la ecuación y [matemáticas] A [/ matemáticas], [matemáticas] B [/ matemáticas] y [matemáticas] C [/ matemáticas] son constantes arbitrarias. Sustituya [matemática] T (0) = 1 [/ matemática], [matemática] T (1) = 6 [/ matemática] y [matemática] T (2) = 7 [/ matemática] y resuelva para [matemática] A [ / math], [math] B [/ math] y [math] C [/ math] y la respuesta final que obtienes es la respuesta anterior.
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La manera fácil de resolverlo es usar una computadora para hacer el trabajo sucio. Eso es lo que hice, por si tienes curiosidad por saberlo.
En caso de que quiera copiarlo:
T (n) = 1/6 (2+ (105737 + 10953 sqrt (129)) ^ (1/3) / 43 ^ (2/3) -464 / (43 (105737 + 10953 sqrt (129))) ^ (1/3)) (1+ (2 (9 + sqrt (129))) ^ (1/3) / 3 ^ (2/3) – (2 2 ^ (2/3)) / (3 (9 + sqrt (129))) ^ (1/3)) ^ n + (1/3 – ((1 + i sqrt (3)) (105737 + 10953 sqrt (129)) ^ (1/3)) / (12 43 ^ (2/3)) + (116 (1-i sqrt (3))) / (3 (43 (105737 + 10953 sqrt (129))) ^ (1/3))) (1 – ((1 -i sqrt (3)) (9 + sqrt (129)) ^ (1/3)) / 6 ^ (2/3) + (2 ^ (2/3) (1 + i sqrt (3))) / (3 (9 + sqrt (129))) ^ (1/3)) ^ n + (1/3 – ((1-i sqrt (3)) (105737 + 10953 sqrt (129)) ^ (1/3) ) / (12 43 ^ (2/3)) + (116 (1 + i sqrt (3))) / (3 (43 (105737 + 10953 sqrt (129))) ^ (1/3))) (1 – ((1 + i sqrt (3)) (9 + sqrt (129)) ^ (1/3)) / 6 ^ (2/3) + (2 ^ (2/3) (1-i sqrt (3 ))) / (3 (9 + sqrt (129))) ^ (1/3)) ^ n
