¿El análisis complejo es relevante para el aprendizaje automático?

Los modelos de aprendizaje en la teoría del control (control adaptativo) generalmente se basan en representaciones de funciones de transferencia. De una forma u otra, se trata de localizar los polos y ceros desconocidos de una función de transferencia en el plano complejo. La estimación óptima y los problemas de filtración también se realizan en el plano complejo.

Las conexiones entre los modelos de aprendizaje en la teoría del control y la IA son bastante cercanas en algunos aspectos, pero se pierden en la historia (cuando la teoría del control solía llamarse “computación analógica”).

No encontrará nada de esto en los libros de texto de aprendizaje automático de IA. La razón es que la teoría del control se basa en el problema básico de estabilizar sistemas inestables. Los problemas de estabilidad conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales y métodos de plano complejo. Los problemas de aprendizaje se construyen sobre esta base. Tienes que lidiar con el aprendizaje y la inestabilidad al mismo tiempo (control dual). Este no es el caso en el aprendizaje automático, que yo sepa.

La mayoría de los problemas de aprendizaje automático no implican dinámicas en absoluto, o si lo hacen, son dinámicas naturalmente estables y de tiempo discreto, no cosas como tratar de estabilizar un avión o nave espacial con masa desconocida, daño estructural, etc.

Básicamente, si agrega problemas de dinámica y estabilidad a su problema de aprendizaje (principalmente en el caso de sistemas físicos y control en tiempo real), probablemente se encontrará con un análisis complejo. Si está escaneando transacciones de tarjetas de crédito en busca de fraude, lo más probable es que no lo haga (aunque en un sentido débil, cada vez que maneja matrices, valores propios, valores singulares, etc., se está acercando a un territorio de análisis complejo).

La única conexión que se me ocurre con el análisis complejo es algo tenue, pero aquí está:

El espacio de funciones de Bergman en un dominio D en el plano complejo tal que [matemática] || f || _2 = (\ int_D f (x + iy) ^ p dx dy) ^ {1 / p} <\ infty [/ math] es un núcleo de reproducción del espacio de Hilbert cuyo núcleo está dado por el núcleo de Bergman:
[matemáticas] f (z) = \ int_D f (\ zeta) K (\ zeta, z) d \ zeta [/ matemáticas] donde K es el núcleo de Bergman
[math] \ sum \ phi_j (z) \ phi_i (z) [/ math] donde [math] \ phi_i, \ phi_j [/ math] son ​​los elementos de base ortonormales del espacio de Bergman (que también es un espacio de Hilbert). Este núcleo se evalúa como [matemática] K (\ zeta, z) = \ frac {1} {(1- \ zeta \ bar {z}) ^ 2} [/ matemática]

La reproducción de los espacios del núcleo de Hilbert es útil en el aprendizaje automático porque puede representar una función complicada como una suma de funciones básicas (las [matemáticas] \ phi_i [/ ​​matemáticas]) que generalmente están en una forma amigable, como polinomios o gaussianos. (Para el espacio de Bergman en el círculo, son monomios normalizados). En el caso del espacio de Bergman, probar que es un núcleo de reproducción El espacio de Hilbert utiliza análisis complejos clásicos, basándose en el teorema de Montel.

Hasta donde yo sé, solo si estás tratando de aprender algo con una relación específica de dominio con análisis complejos.