¿Por qué la inducción es más omnipresente que cualquier otra técnica de prueba en informática y lógica matemática?

A2A: No creo que sea así. De hecho, creo que veo reductio ad absurdum con mucha más frecuencia. Definitivamente, hay algunos tipos de problemas para los cuales es el método dominante. Esos tipos incluyen un parámetro entero y se necesitan pruebas para todos los valores posibles de ese parámetro.

Los números de conteo, [math] \ mathbb {N} [/ math], son ubicuos en informática. Quizás menos familiar, pero es por la misma razón en lógica matemática. Solo hay un número finito de declaraciones que podemos escribir, ¡y no hay mitades! Por ejemplo, si nuestro alfabeto simbólico es [matemática] A, B, C, [/ matemática] [matemática] \ pi [/ matemática] hay exactamente 4 expresiones con un carácter, 16 con dos, 64 con tres y así sucesivamente.

No tomé, como, los fundamentos de la teoría de conjuntos, por lo que no puedo confirmar que el pmi sea, de hecho, el más frecuente. Pero es lógico y por eso. Además … la inducción matemática es una de las herramientas más simples y pocas que tenemos. Hay clases de afirmaciones que las matemáticas quisieran probar, pero no sabe cómo, la cita atribuida por Erdős “Las matemáticas pueden no estar listas para tales problemas”

Mientras que, por discutir sobre el conjunto de números reales [math] \ mathbb {R} [/ math], pmi no funcionará, porque hay demasiados. ¡Ir “uno a la vez” no te lleva al final!

En informática, el análisis de un algoritmo a menudo se representa como una secuencia de algunos números naturales. Por ejemplo, el tiempo de ejecución se puede representar como [matemáticas] 1 + 2 + 3 +… + n = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas] (complejidad cuadrática), [matemáticas] 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 +… + n ^ 3 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} [/ math] o cualquier otra secuencia.

Si necesita verificar la fórmula para una secuencia, utilice la prueba por inducción (porque la secuencia se define inductivamente en varios casos). Por la suma de números naturales que obtienes

[matemáticas] n = 0, S_n = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = 1, S_n = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = k, S_n = \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemáticas]

[matemática] n = k + 1, S_n = \ frac {k (k + 1)} {2} + k + 1 = \ frac {(k + 1) (k + 2)} {2} [/ matemática] .

Por omnipresente, ¿supongo que no quieres decir que sea tan definido o no tan sencillo? Pienso que ubicuo significa “por todas partes” o “en todas partes”. Por lo tanto, mi respuesta es simple y supone que entiendo su pregunta en función de cómo la redactó. La inducción es más difícil porque está extrayendo los elementos para derivar la prueba de un cuerpo de datos más grande, generalmente más abstracto, en lugar de un tipo de razonamiento más si, entonces. Es cierto que tengo muy poco conocimiento de informática, pero supongo que la lógica es lógica, de lo contrario las computadoras no seguirían patrones operativos similares.

Gracias por el A2A!

Veo pruebas por contradicción mucho más a menudo. La inducción (al menos a la que supongo que te refieres) se limita a los enteros. Sigo pensando que se usa con mucha frecuencia porque es útil para probar algo para infinitos casos en torno a [math] 2 [/ math] pasos.