La gente ha señalado dónde e ^ x ocurre con frecuencia. El teorema del límite central es un gran ejemplo (para e ^ (- x ^ 2)).
Permítanme decirles por qué e ^ x ocurre tanto en física e ingeniería y probablemente en otros campos como la química, la economía y la dinámica de la población, etc.
Imagine un escenario en el que algo aumenta a un ritmo proporcional a la cantidad actual de ese algo. Imagine también un escenario en el que algo disminuye a un ritmo proporcional a la cantidad que hay. Entonces, como ejemplo, imagine que tiene un país donde las personas se reproducen a un ritmo proporcional a la cantidad de ellas que hay actualmente (algo así como, en promedio, cada pareja tiene 2.5 hijos por vida). Eso parece razonable, suponiendo que no haya otro estímulo para hacer que esa tasa sea más rápida o más lenta en diferentes momentos, en realidad lo será, ya que las cosas nunca son tan simples, pero por ahora imagine este modelo simple. Además, imagine un proceso en el que una cierta proporción de algo se extingue cada segundo. Digamos que tiene algunos desechos nucleares y el 10% de ellos se descomponen todos los días. Entonces, cuanto más haya, más se descompondrá, y viceversa. Lo que implican estos dos escenarios es que es razonable esperar que haya muchos sistemas donde la tasa de cambio de algo en un punto en el tiempo sea proporcional a la cantidad de esa cosa que está presente en ese punto en el tiempo. Si ha tomado algún cálculo, esto se traduce en: la derivada de una función es proporcional a la función misma. ¿Cuál es una función que cumple con estos criterios? Lo has adivinado: e ^ x. En realidad, si tiene una situación como esa, su respuesta será algo así como C * e ^ (r * t). Puse t en lugar de x para especificar el tiempo, pero no tiene que ser tiempo. Algo podría reducirse, por ejemplo, a una velocidad proporcional a la distancia física desde algún punto de origen, pero es intuitivo pensar que las cosas cambian con el tiempo. Entonces, de nuevo C * e ^ (r * t), donde C y r son constantes y C dependerá de su condición inicial: la cantidad de cosas con las que comenzó en primer lugar. r será tu tarifa. Dependerá de la tasa especificada. Entonces, si el 10% del material radiactivo se descompone por día, la tasa r será equivalente a 0.10 por día. r será negativo si su cantidad está disminuyendo. Será positivo si está aumentando. Si es negativo, la cantidad simplemente decaerá a ser arbitrariamente cercana a cero. Si es positivo, la cantidad eventualmente explotará en tamaño.
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