Considere el problema de 3 colores: dado un gráfico [matemático] G [/ matemático] en vértices [matemático] n [/ matemático] y bordes [matemático] m [/ matemático] tenemos que colorear cada vértice ya sea rojo, azul o verde de tal manera que cada par de vértices adyacentes en [matemáticas] G [/ matemáticas] son de diferente color. La variante de decisión de este problema es NP-Complete. Por lo tanto, dado [matemática] G [/ matemática] es difícil decidir si admite un color 3 o no. Pero, ¿qué pasa si te prometo que [math] G [/ math] es perfectamente colorable en 3 o cualquier coloración falsificará al menos la mitad de los bordes. Bajo esta promesa sobre [matemáticas] G [/ matemáticas], ¿la tarea se vuelve más fácil? Tenga en cuenta que estamos agotando severamente el conjunto de instancias y dando más estructura a [math] G [/ math]. Entonces, a primera vista, no está claro que el problema siga siendo NP-Hard. El teorema de PCP establece que, de hecho, el color 3 incluso bajo esta promesa sigue siendo NP-Hard. ¡Esto es notable!
¿Por qué es esto notable?
En el corazón del teorema de PCP se encuentra una transformación [math] \ mathcal {T} [/ math] en [math] G [/ math] de manera que amplifica la capacidad inherente de no-3-colara [math] G [/ math] sin explotar en tamaño por mucho. Suponga que [matemática] G [/ matemática] no es perfectamente colorable en 3 pero admite una coloración tal que todos los bordes tienen vértices de color opuesto, excepto un borde. Bajo [math] \ mathcal {T} [/ math], [math] G [/ math] puede de alguna manera amplificar esta “maldad” (de no ser perfectamente 3-colorable) tal que en [math] \ mathcal { T} (G) [/ math] para cualquier coloración, al menos la mitad de los bordes de [math] \ mathcal {T} (G) [/ math] tienen vértices del mismo color. Por otro lado, si [math] G [/ math] era perfectamente de 3 colores, entonces también lo es [math] \ mathcal {T} (G) [/ math]. ¡Es extremadamente no trivial que tal transformación exista y eso es notable!
Más intuición
Analicemos más a fondo la promesa sobre [matemáticas] G [/ matemáticas] que habíamos hecho. Si se nos da una coloración de [matemáticas] G [/ matemáticas], entonces, elegimos un borde uniformemente al azar y “probamos” la asignación de colores para este borde. Si la coloración combina perfectamente 3 colores [matemática] G [/ matemática], este borde tendrá vértices con colores opuestos y, por lo tanto, “pasará” la prueba. Por el contrario, si [matemática] G [/ matemática] no es perfectamente colorable en 3, entonces con probabilidad de al menos [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] esta ventaja “fallará” en la prueba (debido a promesa que habíamos hecho en [matemáticas] G [/ matemáticas]). ¡Una prueba probabilística tan eficiente para un problema NP-Hard es muy sorprendente!
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