Entiendo que tu recurrencia sea
[matemáticas] b (0) = 36 [/ matemáticas]
[matemáticas] b (n + 1) = 6 \ cdot b (n) ^ 7 [/ matemáticas]
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Intentemos resolver esta recurrencia más general:
[matemáticas] b (0) = a [/ matemáticas]
[matemáticas] b (n + 1) = c \ cdot b (n) ^ d \ quad (d \ ne 1) [/ matemáticas]
¿Por qué [matemáticas] d \ ne 1 [/ matemáticas]? Si [matemática] d = 1 [/ matemática], el problema sería trivial con la solución siendo [matemática] b (n) = c ^ n \ cdot a [/ matemática].
Es mejor comenzar a mirar los primeros valores y luego tratar de deducir la fórmula general sin recurrencia:
[matemáticas] b (0) = a [/ matemáticas]
[matemáticas] b (1) = c \ cdot b (0) ^ d = c \ cdot a ^ d [/ matemáticas]
[matemáticas] b (2) = c \ cdot b (1) ^ d = c \ cdot (c \ cdot a ^ d) ^ d = c ^ {d + 1} \ cdot a ^ {d ^ 2} [/ mates]
[matemáticas] b (3) = c \ cdot b (2) ^ d = c \ cdot (c ^ {d + 1} \ cdot a ^ {d ^ 2}) ^ d = c ^ {d ^ 2 + d +1} \ cdot a ^ {d ^ 3} [/ math]
[matemáticas] b (4) = c \ cdot b (3) ^ d = c \ cdot (c ^ {d ^ 2 + d + 1} \ cdot a ^ {d ^ 3}) ^ d = c ^ {d ^ 3 + d ^ 2 + d + 1} \ cdot a ^ {d ^ 4} [/ math]
[matemáticas] b (5) = c \ cdot b (4) ^ d = c \ cdot (c ^ {d ^ 3 + d ^ 2 + d + 1} \ cdot a ^ {d ^ 4}) ^ d = c ^ {d ^ 4 + d ^ 3 + d ^ 2 + d + 1} \ cdot a ^ {d ^ 5} [/ math]
Bien, entonces obviamente vemos que se forma un patrón simple
La solución parece ser:
[matemáticas] {b (n) = c ^ {\ sum_ {i = 0} ^ {n-1} d ^ i} \ cdot a ^ {d ^ n}} [/ matemáticas]
Uso de la igualdad [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} d ^ i = {{d ^ n – 1} \ over {d-1}} \ quad (d \ ne 1) [/ math ] (que es la suma parcial de una serie geométrica), esto se puede simplificar a:
[matemáticas] {b (n) = c ^ {{d ^ n – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ n}} [/ math]
Ahora intentemos probar que la solución es correcta.
Primero verifique si [matemáticas] b (0) = a [/ matemáticas]:
[matemáticas] b (0) = c ^ {{d ^ 0 – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ 0} = c ^ 0 \ cdot a ^ 1 = a [/ math]
Ahora verifique si la solución para [matemáticas] b (n) [/ matemáticas] coincide con la recurrencia.
[matemáticas] b (n + 1) = c \ cdot b (n) ^ d [/ matemáticas]
[matemáticas] \ iff c ^ {{d ^ {n + 1} – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} = c \ cdot (c ^ {{d ^ n – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ n}) ^ d [/ math]
[matemáticas] \ iff c ^ {{d ^ {n + 1} – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} = c \ cdot c ^ {{(d ^ n – 1) \ cdot d} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} [/ math]
[matemáticas] \ iff c ^ {{d ^ {n + 1} – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} = c \ cdot c ^ {{d ^ {n + 1} – d} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} [/ math]
[matemáticas] \ iff c ^ {{d ^ {n + 1} – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} = c ^ {{{d ^ {n +1} – d} \ over {d-1}} + 1} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} [/ math]
[matemáticas] \ iff c ^ {{d ^ {n + 1} – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} = c ^ {{d ^ {n + 1} – d + d – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} [/ math]
[matemáticas] \ iff c ^ {{d ^ {n + 1} – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} = c ^ {{d ^ {n + 1} – 1} \ over {d-1}} \ cdot a ^ {d ^ {n + 1}} [/ math]
qed
Al conectar sus valores, la solución es:
[matemáticas] b (n) = 6 ^ {{7 ^ n – 1} \ sobre 6} \ cdot 36 ^ {7 ^ n} [/ matemáticas]
