Es una buena pregunta para explicar el teorema de Caley Hamilton .
Antes de esto, le pediré que lea mi Eigenvalue y Eigen-vector Section .
“La respuesta de Rajdeep Biswas a ¿Cuáles son algunas fórmulas que no se enseñan a nivel JEE, pero que te enseñaron en tu universidad? ¿Por qué algunos problemas JEE se pueden resolver directamente?
- ¿Por qué creas matrices en Java y cuáles son las posibilidades de crear una matriz?
- ¿Por qué el tipo de este código JavaScript siempre es una 'Cadena' a pesar de que estoy ingresando un número en el campo de entrada?
- Cómo comparar dos algoritmos de recomendación en términos de problema de cola larga
- ¿Te gusta la categoría de algoritmos de 'programación dinámica'?
- ¿Cómo podemos desarrollar un algoritmo para emitir juicios sobre casos legales en India?
Ahora llegando a la respuesta
La matriz [matemáticas] A [/ matemáticas] viene dada por
[matemáticas] A = \ begin {pmatrix} x & x \\\\ x & x \ end {pmatrix} [/ math]
Ahora tenemos que encontrar el valor propio [math] \ lambda [/ math] de la matriz [math] A [/ math], para lo cual haremos esto
[matemática] Det (A – \ lambda I_2) = 0 [/ matemática]
[math] \ Rightarrow \ begin {vmatrix} x- \ lambda & x \\\\ x & x- \ lambda \ end {vmatrix} = 0 [/ math]
[matemática] \ Rightarrow (x- \ lambda) ^ 2 – x ^ 2 = 0 [/ matemática]
[math] \ Rightarrow (x- \ lambda-x) (x- \ lambda + x) = 0 [/ math]
[math] \ Rightarrow – \ lambda (2x – \ lambda) = 0 [/ math]
Entonces [math] \ lambda = 0, 2x [/ math]
Ahora el teorema de Any By Caley Hamilton podemos reducir cualquier reducción de cualquier polinomio de matriz [matemática] f (A) [/ matemática] por
[matemáticas] f (A) = {\ alpha} _ {n-1} A ^ {n-1} + {\ alpha} _ {n-2} A ^ {n-2} + \ cdots + {\ alpha } _ {0} I_n [/ matemáticas]
Donde [math] n [/ math] es la dimensión de la matriz [math] A [/ math]
Ahora sabemos que [math] n [/ math] es el no de raíces de [math] \ lambda [/ math]
aquí [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]
Ahora
nosotros escribimos
[matemáticas] e ^ A = {\ alpha} _ {1} A + {\ alpha} _ {0} I_2 [/ matemáticas]
Para encontrar los valores de [math] {\ alpha} _ {1} [/ math] y [math] {\ alpha} _ {0} [/ math] tenemos que escribir esto
[matemáticas] e ^ z = {\ alpha} _ {1} z + {\ alpha} _ {0} [/ matemáticas]
Ahora la ecuación se satisface con los valores de [math] \ lambda [/ math] que son [math] 0 [/ math] y [math] 2x [/ math]
Entonces
[matemáticas] e ^ 0 = ({\ alpha} _ {1}. {0}) + {\ alpha} _ {0} [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow {\ alpha} _ {0} = 1 [/ math]
y
[matemáticas] e ^ {2x} = ({\ alpha} _ {1}. {2x}) + {\ alpha} _ {0} = 2x {\ alpha} _ {1} + 1 [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow {\ alpha} _ {1} = \ dfrac {e ^ {2x} – 1} {2x} [/ math]
Entonces podemos escribir finalmente
[matemáticas] e ^ z = \ dfrac {e ^ {2x} – 1} {2x} z + 1 [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] e ^ A = \ dfrac {e ^ {2x} – 1} {2x} A + I_2 = \ dfrac {e ^ {2x} – 1} {2x} \ begin {pmatrix} x & x \\\ \ x & x \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow e ^ A = \ begin {pmatrix} \ dfrac {e ^ {2x} + 1} {2} & \ dfrac {e ^ {2x} – 1} {2} \\\\ \ dfrac { e ^ {2x} – 1} {2} & \ dfrac {e ^ {2x} + 1} {2} \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto e ^ A = \ dfrac {1} {2} \ begin {pmatrix} e ^ {2x} + 1 & e ^ {2x} – 1 \\\\ e ^ {2x} – 1 & e ^ {2x} + 1 \ end {pmatrix} [/ math]
Entonces
[matemáticas] \ qquad \ qquad \ boxed {\ begin {matrix} f (x) = e ^ {2x} + 1 \\\\ g (x) = e ^ {2x} – 1 \ end {matrix}} [ /matemáticas]
Espero que sea suficiente para su solución. Puedes hacer el resto tú solo …
Nota 1: Si tiene varias raíces iguales de [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas], entonces debe diferenciar la ecuación (Aquí [matemáticas] e ^ z = {\ alpha} _ {1} z + {\ alpha} _ {0} [/ math] wrt [math] z [/ math]) [math] t [/ math] veces, si la multiplicidad de una raíz [math] {\ lambda} _p [/ math] es [math] ( t + 1) [/ matemáticas]. Cada diferenciación será una ecuación en ese caso.
Nota 2: Si la matriz [matemática] A [/ matemática] es [matemática] (3 \ veces 3) [/ matemática]. La expresión será
[matemáticas] e ^ A = {\ alpha} _ {2} A ^ 2 + {\ alpha} _ {1} A + {\ alpha} _ {0} I_3 [/ matemáticas]
Aquí [math] A [/ math] es [math] (2 \ times 2) [/ math], por esta razón
[matemáticas] e ^ A = {\ alpha} _ {1} A + {\ alpha} _ {0} I_2 [/ matemáticas]
Espero que entiendas las diferencias …
