Formalizando la respuesta de Sridhar y generalizándola a camarillas [matemáticas] N [/ matemáticas].
Defina [matemática] f (N) [/ matemática] como el número de pasos necesarios para visitar todos los nodos de una camarilla [matemática] N [/ matemática]. Estamos interesados en encontrar [matemáticas] E [f (N)] [/ matemáticas].
Defina [math] g (k) [/ math] como el número de pasos dados entre visitar [math] k [/ math] y [math] k + 1 [/ math] nodos distintos. Es fácil ver eso :
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[matemáticas] f (N) [/ matemáticas] = [matemáticas] g (1) + g (2)… + g (N-1) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que esto no tiene [math] g (0) [/ math] porque el conejo tiene que comenzar en algún nodo.
De la linealidad de la expectación:
[matemáticas] E [f (N)] [/ matemáticas] = [matemáticas] E [g (1)] + E [g (2)]… + E [g (N-1)] [/ matemáticas]
Ahora intentemos resolver para [matemáticas] E [g (k)] [/ matemáticas]. Cuando ya hemos visitado [math] k [/ math] nodos, reviviríamos algunos nodos ya visitados con probabilidad [math] (k-1) / (N -1) [/ math] en cuyo caso nuevamente he visitado exactamente [math] k [/ math] nodos distintos y el número esperado de pasos restantes sería [math] E [g (k)] [/ math]. Si hubiéramos ido a un nodo no visitado, que sucede con la probabilidad [matemática] 1- (k-1) / (N-1) [/ matemática], habríamos visitado [matemática] k + 1 [/ matemática] distinta vértices y el número esperado de pasos restantes sería [matemática] 0 [/ matemática]. Asi que:
[matemáticas] E [g (k)] = [/ matemáticas] [matemáticas] 1 + (k-1) / (N-1) * E [g (k)] [/ matemáticas]
lo que da:
[matemáticas] E [g (k)] = (N-1) / (N – k) [/ matemáticas]
Al conectarlo en la ecuación que derivamos para [matemáticas] E [f (N)] [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] E [f (N)] = [/ matemáticas] [matemáticas] (N-1) / (N-1) + (N-1) / (N-2) [/ matemáticas] [matemáticas] +… + (N-1) / 1 [/ matemáticas]
Al resolverlo para [matemáticas] N = 4 [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] 3/3 + 3/2 + 3/1 = 5.5 [/ matemáticas]
