Dos conjuntos finitos tienen elementos myn cada uno. El número total de subconjuntos del primer conjunto es 56 más que el número total de subconjuntos del segundo conjunto. ¿Cuáles son los valores de myn?

Número de subconjuntos = [matemática] 2 ^ n [/ matemática]

La diferencia en el número de subconjuntos debe ser de la forma [matemática] 2 ^ x (2 ^ y-1) [/ matemática]

[matemáticas] 56 = 8 \ veces 7 = 2 ^ 3 \ veces (2 ^ 3–1) [/ matemáticas]

n = y = 3

m = x + y = 6

Explicación detallada

Paso 1: propiedad de los subconjuntos

Cardinalidad: Un conjunto de elementos [math] n [/ math] tendrá subconjuntos [math] 2 ^ n [/ math].

Esto significa que el conjunto A de elementos m tiene subconjuntos [matemática] 2 ^ m [/ matemática].

Nuevamente, el conjunto B de n elementos tiene subconjuntos [matemáticos] 2 ^ n [/ matemáticos].

Paso 2: el conjunto A tiene 56 subconjuntos más que el conjunto B.

Es significa [matemáticas] 2 ^ m – 2 ^ n = 56 [/ matemáticas]

Paso 3: Factorizar 56

Está claro que m es mayor n.

Sea m = n + k,

[matemáticas] 2 ^ m-2 ^ n = 56 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ n (2 ^ k-1) = 56 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ k-1 [/ matemáticas] es siempre un número impar. Entonces necesitamos encontrar los factores impares de 56.

[matemáticas] 56 = 2 \ veces 2 \ veces 2 \ veces 7 [/ matemáticas] → 7

Y afortunadamente, 56/7 = 8 con es una potencia de 2.

¡Si no, la pregunta habría estado mal!

Verificación posterior

[matemáticas] 56 = 7 \ veces 8 = (2 ^ 3–1) 2 ^ 3 [/ matemáticas]

n = 3 yk = 3 → m = n + k = 6

[matemáticas] 2 ^ 6 = 64 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas]

64–8 = 56

Deje que los conjuntos sean A y B. Luego, el número total de subconjuntos del conjunto A, S (A) = 2 ^ my S (B) = 2 ^ n. Dado que el número total de subconjuntos del primer conjunto es 56 más que el número total de subconjuntos del segundo conjunto, tenemos,
S (A) -S (B) = 56
=> 2 ^ m-2 ^ n = 56
por método de prueba y error, obtenemos m = 6 yn = 3.
Por lo tanto, S (A) = 64 y S (B) = 8
y S (A) -S (B) = 64-8 = 56.

6 y 3 son los valores de myn respectivamente.

El número de subconjuntos para un conjunto dado que tiene un número de elementos ‘x’ es 2 ^ x

Dado el número de subconjuntos para set1 es 56 más que el número de subconjuntos para set2

=> 2 ^ m = 2 ^ n + 56

=> 2 ^ m- 2 ^ n = 56

Observe los poderes de 2, la diferencia es ligeramente menor en comparación con los poderes.

Las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,64,128,256 …

La diferencia de 64 y 8 es 56.

Entonces los valores myn deben ser 6 y 3.

El no. Del elemento en el 1er set = m

No. de subconjuntos del 1er set = 2 ^ m

No. del elemento ts en el segundo set = n

No. de subconjuntos de 2º conjunto = 2 ^ n

De acuerdo a la pregunta

2 ^ m – 2 ^ n = 56

2 ^ n {(2 ^ m / 2 ^ n) – 1} = 7 × 8

2 ^ n {2 ^ (m – n) – 1} = 2 ^ 3 + {(2 ^ (4–1) -1}

Al comparar obtenemos

m = 4

n = 3

Bueno, podemos usar un resultado probado por Cantor aquí:

La cardinalidad de (número de elementos en) el conjunto de potencia (conjunto de todos los subconjuntos) [matemática] \ matemática P (S) [/ matemática] de un conjunto [matemática] S [/ matemática] de cardinalidad [matemática] \ lvert S \ rvert [/ math] es [math] 2 ^ {\ lvert S \ rvert} [/ math].

Por lo tanto, suponiendo que [matemática] m> n [/ matemática], y que la exponencial es una función que aumenta continuamente en los Reales, [matemática] 2 ^ m> 2 ^ n [/ matemática]. Además, según la pregunta, tenemos que [matemáticas] 2 ^ m + 56 = 2 ^ n [/ matemáticas]. El valor más bajo para el cual lo anterior es verdadero se puede encontrar al forzar con fuerza bruta los poderes relevantes de 2. Encontramos que esto es cierto primero para [matemática] m = 6 [/ matemática] y [matemática] n = 3 [/ matemática ] También sabemos que dado que [math] 2 ^ m [/ math] y [math] 2 ^ n [/ math] son ​​funciones estrictamente crecientes para [math] m, \ n \ \ in \ \ mathbb N [/ math], [matemática] 2 ^ m-2 ^ n [/ matemática] también aumenta a medida que [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] aumentan manteniendo [matemática] m> n [/ matemática]. Esto significa que la primera solución que obtuvimos para [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] también es única.

Si A tiene n elementos, entonces no del subconjunto de A = 2 ^ n. Por lo tanto, en este caso
2 ^ m – 2 ^ n = 56.o 2 ^ n (2 ^ (mn) -1) = 56 .8 | 56 => 8 = 2 ^ n
n = 3 poniendo n = 3 obtenemos m = 6

2 ^ m = 2 ^ n + 56
por el método de fuerza bruta vemos que
64 = 56 + 8
y 64 = 2 ^ 6,8 = 2 ^ 3
entonces, m = 6 yn = 3