- Complejidad de un entero
Sea [math] f (n) [/ math] el menor número de unidades necesarias para representar un número entero usando la suma, la multiplicación y las paréntesis. Por ejemplo,
[matemáticas] f (11) = 8 [/ matemáticas], ya que [matemáticas] 11 = (1 + 1) \ veces (1 + 1 + 1 + 1 + 1) +1 [/ matemáticas].
Es un problema abierto determinar si [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {f (n)} {\ log_3 n} = 3 [/ math].
- Estimaciones de suma de productos
Deje que [math] A = \ {a_1, \ ldots, a_n \} [/ math] sea un conjunto de [math] n [/ math] números reales. El conjunto [matemática] A + A [/ matemática] se define como el conjunto de todos los números de la forma [matemática] a_i + a_j, 1 \ le i \ le j \ le n [/ matemática]. Del mismo modo, el conjunto de productos [matemática] A \ cdot A [/ matemática] se define como el conjunto de todos los números de la forma [matemática] a_i a_j, 1 \ le i \ le j \ le n [/ matemática].
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La conjetura de la suma del producto de Erdos y Szemeredi establece que [math] \ max (| A + A |, | A \ cdot A |)> n ^ {2- \ varepsilon} [/ math] para cualquier [math] \ epsilon > 0 [/ matemática] y suficientemente grande [matemática] n [/ matemática]. El mejor resultado conocido se debe a Jozsef Solymosi, quien ha demostrado que
[math] \ max (| A + A |, | A \ cdot A |)> n ^ {4/3 – \ varepsilon} [/ math].
- Permutaciones sin progresión
Sea [math] M (n) [/ math] el número de permutaciones de [math] \ {1,2, \ ldots, n \} [/ math] que no contienen un [math] 3 [/ math] de progresión aritmética a largo plazo como una subsecuencia. Por ejemplo, [matemáticas] M (4) = 10 [/ matemáticas]. Es un problema abierto, planteado por primera vez en un artículo de Davis, Entringer, Graham y Simmons, para mostrar que [matemáticas] M (n + 1)> M (n) [/ matemáticas] para todos [matemáticas] n [/ matemáticas ]
En una nota relacionada, tampoco se sabe si los enteros positivos se pueden permutar para evitar todas las progresiones aritméticas de 4 términos como subsecuencias. Se sabe que se pueden permutar para evitar AP de 5 términos, y que no se pueden permutar para evitar AP de 3 términos (este último es un ejercicio fácil).
