Dado [matemáticas] f (n) = O (g (n)) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (n) = O (h (n)) [/ matemáticas]. Esto significa que existen constantes [matemática] c_1, n_1 [/ matemática] tal que [matemática] f (n) \ le c_1g (n) \ forall n \ ge n_1 [/ matemática] y constantes [matemática] c_2, n_2 [/ matemática] tal que [matemática] f (n) \ le c_1g (n) \ forall n \ ge n_1 [/ matemática].
A partir de lo que se da, no podemos inferir ningún tipo de relación entre [matemáticas] g (n) [/ matemáticas] y [matemáticas] h (n) [/ matemáticas]. Esto quedará claro a partir de un ejemplo.
Deje [math] f (n) = n ^ 2 + n + 1 [/ math] entonces podemos decir [math] f (n) = O (n ^ 2) [/ math], [math] f (n) = O (n ^ 3) [/ matemáticas], [matemáticas] f (n) = O (n ^ 2 \ log {n}) [/ matemáticas] etc. [matemáticas] g (n) [/ matemáticas] y [ math] h (n) [/ math] podría ser cualquiera de estos.
Entonces, las dos primeras declaraciones son obviamente falsas. Entonces, la única afirmación verdadera es [matemáticas] f (n) = O (g (n) + h (n)) [/ matemáticas]
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Esto se puede demostrar por el hecho de que existen constantes [matemáticas] c = max (c_1, c_2) [/ matemáticas] y [matemáticas] n_0 = máx (n_1, n_2) [/ matemáticas] para las cuales [matemáticas] f (n ) \ le c (g (n) + h (n)) \ forall n \ ge n_0 [/ math].
