Tiene [math] n [/ math] nodos y agrega [math] n-1 [/ math] bordes entre esos nodos. Como tampoco tiene ciclos, el gráfico debe estar conectado. Probemos esto.
Lo demostraremos por contradicción. Supongamos que tenemos un gráfico [matemática] G [/ matemática] con nodos [matemática] n [/ matemática] y aristas [matemática] n-1 [/ matemática] sin ciclos, y [matemática] G [/ matemática] ] no está conectado. Ahora, dividamos el gráfico [matemática] G [/ matemática] en los componentes conectados [matemática] m [/ matemática] ([matemática] 1 <m <n [/ matemática]), [matemática] G_1 [/ matemática] , [matemáticas] G_2 [/ matemáticas], [matemáticas] G_3 [/ matemáticas], hasta [matemáticas] G_m [/ matemáticas]. Cada una de estas subgrafías tiene [math] n_1 [/ math] nodos, [math] n_2 [/ math] nodos, [math] n_3 [/ math] nodos, hasta [math] n_m [/ math], respectivamente.
Entonces, sabemos que [math] n_1 + n_2 + n_3 + \ dots + n_m = n [/ math]. Y dado que cada uno de los subgrafos [matemáticas] G_1 [/ matemáticas], [matemáticas] G_2 [/ matemáticas], [matemáticas] G_3 [/ matemáticas],. . ., [math] G_m [/ math] están conectados y no tienen ciclos (lo que significa que son árboles), cada uno tiene [math] n_1-1 [/ math], [math] n_2-1 [/ math], [math ] n_3-1 [/ matemáticas],. . ., [matemática] n_m-1 [/ matemática] bordes, respectivamente. Entonces, sumando todo esto, vemos que [math] n_1-1 + n_2-1 + n_3-1 + \ dots + n_m = nm [/ math] ya que hay [math] m [/ math] número de componentes conectados. Pero sabemos que [matemática] m> 1 [/ matemática], entonces [matemática] n_1-1 + n_2-1 + n_3-1 + \ dots + n_m <n-1 [/ matemática]. En consecuencia tenemos una contradicción.
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[math] G [/ math] debe estar conectado si hay nodos [math] n [/ math], [math] n-1 [/ math] bordes entre esos nodos y no hay ciclos. Así que hemos demostrado que el algoritmo de Kruskal debe devolver un árbol de expansión.
¡Espero que esto ayude! Comenta a continuación si tienes alguna pregunta.
