Asumo aquí que por redes neuronales normales, te refieres a redes de alimentación directa de vainilla. El aprendizaje profundo es una colección de varias arquitecturas de redes neuronales, donde el profundo generalmente se refiere a múltiples capas ocultas. El aprendizaje profundo también incluye arquitecturas que tienen convolución en lugar de multiplicación matricial (del borrador de aprendizaje profundo de Yoshua Bengio, Aaron Courville e Ian Goodfellow, lectura muy recomendable). A veces tienen bucles de retroalimentación, como en el caso de las redes neuronales recurrentes. Incluso podrían ser redes que tienen un entrenamiento previo en capas y pueden usarse para generar muestras similares a su entrada, como las máquinas de Boltzman y sus diversos y más eficientes miembros de la familia. Aprenden representaciones de los datos como los autoencoders (y otras arquitecturas lo hacen). Pueden ser combinaciones de una o más de las técnicas mencionadas y muchas más además.
El punto más bajo es que el aprendizaje profundo es un campo amplio de modelos de redes neuronales más sofisticados que pueden hacer mucho más.
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