Hay dos cosas que deben ser ciertas para cualquier pdf. Primero, debe ser no negativo en todas partes, y segundo, debe integrarse en uno. Puede usar estas propiedades para responder a su pregunta.
Supongamos que cuando [math] a <x 0 [/ math] . Y para todos los demás valores de [math] x [/ math] la función es cero. Por lo tanto, solo debemos asegurarnos de que [math] xx ^ 2 \ ge 0 [/ math] por cada [math] x \ in (a, b) [/ math]. No lleva mucho tiempo descubrir que [math] xx ^ 2 \ ge 0 [/ math] si y solo si [math] x \ in (0,1) [/ math]. Entonces concluimos que todo el intervalo [matemáticas] (a, b) \ subseteq (0,1) [/ matemáticas]. Por lo tanto, la condición que debe cumplirse para garantizar que la función de densidad no sea negativa en todas partes puede escribirse como [math] 0 \ le a \ lt b \ le 1 [/ math].
Ahora supongamos que tenemos un par [matemática] a, b [/ matemática] que satisface esta restricción para que nuestra densidad no sea negativa. Ahora podemos encontrar el valor de [math] k [/ math] como una función de [math] a, b [/ math] para que la función se integre en uno.
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[matemáticas] \ int_a ^ bk (xx ^ 2) \ dx = 1 [/ matemáticas]
Asi que:
[matemáticas] \ int_a ^ b xx ^ 2 \ dx = \ frac 1 k [/ matemáticas]
Asi que:
[matemáticas] \ frac {b ^ 2-a ^ 2} 2 – \ frac {b ^ 3-a ^ 3} 3 = \ frac 1 k [/ matemáticas]
Y finalmente:
[matemática] k = \ izquierda (\ frac {b ^ 2-a ^ 2} 2 – \ frac {b ^ 3-a ^ 3} 3 \ derecha) ^ {- 1} [/ matemática]
Un caso especial importante de su pregunta es cuando [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]. En este caso, la densidad está en una familia de distribuciones llamada distribución Beta. Es el caso especial cuando [math] \ alpha = \ beta = 2 [/ math]. En este caso, la constante de normalización para la distribución Beta viene dada por:
[matemáticas] k = \ frac {\ Gamma (2 + 2)} {\ Gamma (2) \ Gamma (2)} = \ frac {3!} {1! \ cdot 1!} = 6 [/ matemáticas]
Esta respuesta concuerda con nuestro cálculo anterior para [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]:
[matemáticas] k = \ izquierda (\ frac {1 ^ 2-0 ^ 2} 2 – \ frac {1 ^ 3-0 ^ 3} 3 \ derecha) ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] k = \ izquierda (\ frac {1} 2 – \ frac {1} 3 \ derecha) ^ {- 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] k = \ izquierda (\ frac 16 \ derecha) ^ {- 1} = 6 [/ matemáticas]
