Yo también soy un laico. Hoy tuve una presentación sobre este tema en mi clase de Machine Learning. Trataré de explicar brevemente lo que he entendido. Me gustaría mencionar que tengo cero antecedentes en mecánica estadística y mi comprensión de los modelos matemáticos es limitada.
Modelo Ising y Potts
Veamos primero el modelo de Ising. El modelo de Ising es un modelo matemático en mecánica estadística que se utiliza para comprender las ” transiciones de fase ” (en términos simples, la transformación de un estado de la materia a otro mediante transferencia de calor). Para comprender por qué / cómo usamos este modelo, considere la siguiente propiedad.
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Una lámina de metal tiene la siguiente propiedad: cuando se calienta a bajas temperaturas, se magnetiza pero a medida que aumenta la temperatura, el magnetismo se desvanece. (Nota: calentarlo a un punto llamado Curie Temperature hará que el metal pierda completamente su magnetismo).
Esta propiedad básica en metales se puede modelar usando una estructura gráfica, específicamente un enrejado. De hecho, Ernst Ising en su Ph.D. original de 1924. tesis, resolvió este modelo para una red unidimensional. Hizo las siguientes suposiciones:
- Los átomos individuales tienen un “giro” y pueden apuntar hacia arriba (+1) o hacia abajo (–1).
- Los átomos vecinos con los mismos giros tienen una energía de interacción, que asumiremos que es constante.
- Los átomos están dispuestos en una red regular.
Digamos que el giro de cada átomo se denota por una variable discreta D (+ 1 / -1). Entonces, una configuración de espín de toda la red está esencialmente configurada en D a + 1 / -1 para cada átomo individual. Además, considere que cada átomo está interactuando con sus vecinos y tiene algo de energía de interacción. Llamemos a eso I. Entonces, la energía de esta configuración de espín viene dada por una función de Energía Hamiltoniana. Llamemos a esto H.
(Nota: sin antecedentes en física, solo diré que el hamiltoniano es una función matemática que ayuda a resolver problemas que involucran coordenadas y momentos, como en nuestro caso tenemos un problema magnético y tenemos un momento magnético, así que es útil usarlo aquí. Si está interesado, aquí hay un buen enlace para que un laico entienda los hamiltonianos )
H = – I * D [+ M * D * E] (para cada par de átomos con espín que interactúa).
La fórmula matemática exacta es más larga y tiene en cuenta (entre corchetes), el efecto de un campo magnético externo E y el momento magnético del metal M, pero para la mayoría de los propósitos, esta fórmula es suficiente. El signo negativo aquí es indicativo de la naturaleza magnética del metal en cuestión (ferromagnético, anti-ferromagnético, no interactivo o no ferromagnético).
Ahora, el objetivo de este modelo es comprender la probabilidad de la transición de fase de esta configuración de giro (para este metal) a otro estado (mientras todavía está en equilibrio), es decir, debe responder lo siguiente:
¿Cuál es la probabilidad de que un sistema esté en cierto estado en función de la energía de ese estado y la temperatura del sistema?
En pocas palabras, esta es una distribución de Boltzmann. Entonces, lo usamos para encontrar nuestra probabilidad.
Suponiendo que nuestra temperatura es T y la constante de Boltzmann es K (esto se define a partir de la Distribución, en pocas palabras, la Distribución de Boltzmann es una distribución de probabilidad que es proporcional al producto de la Energía del estado (H para nosotros) y a)
P (D) = exp (-B / KT) / Z
donde Z = exp (-B / KT) [sobre todas las D posibles].
El numerador es trivial para una configuración de giro particular. El denominador es básicamente una constante de normalización, conocida como la función de partición y es de gran importancia en la mecánica estadística para comprender si un estado está en equilibrio o no.
Eso es básicamente el modelo Ising. Ahora, hicimos algunas suposiciones anteriormente con respecto a estos átomos. es decir, asumimos que el giro de cada átomo solo puede ser +1 / -1. ¿Qué sucede si hay más de 2 giros? Llamemos a este número de giro Q.
Esta es la motivación para el modelo de Potts. El Modelo de Potts es una generalización del Modelo de Ising para Q> = 1. De hecho, el Modelo de Isting de red cuadrada bidimensional (Q = 2) es el ejemplo más simple para mostrar las transiciones de fase en Mecánica estadística. Esto entra en Matemáticas / Física más profundas para mostrar la prueba completa y no incluiré eso aquí, sin embargo, la lógica detrás de esto es la misma. ¡Espero que esto haya sido útil!
