Para comenzar, revise los conceptos de Distancia mínima de Hamming y Hamming Bound ( Hamming Bound también se llama Sphere Packing Bound ).
Deje que la distancia mínima de Hamming se denote por d. La teoría establece que:
- Como máximo, se pueden detectar (d – 1) errores.
- Como máximo, los errores (d – 1) / 2 pueden corregirse
Por ejemplo, si d es igual a 3, entonces podemos detectar 2 errores y corregir 1 error. Entonces resulta que necesitamos una distancia mínima de Hamming de 3. Podemos usar fácilmente las relaciones anteriores para calcular la distancia mínima de Hamming si deseamos detectar / corregir un número diferente de bits.
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Ahora, los códigos de Hamming (binarios) generalmente se representan usando la siguiente notación: (n, k, d). Aquí, n es el número de bits en la palabra de código, k es el número de bits de información / datos, y d es nuevamente la Distancia mínima de Hamming. El Hamming Bound para este código es una relación matemática entre n, k y d . El código puede existir si y solo si se cumple el Hamming Bound . La relación de Hamming Bound para un código (binario) se da de la siguiente manera:
[matemáticas] 2 ^ k \ leq \ frac {2 ^ n} {\ sum_ {i = 0} ^ {\ frac {d-1} {2}} {n \ elegir i}} [/ matemáticas]
Aquí [math] {n \ choose i} = \ frac {n!} {I! (Ni)!} [/ Math]
En esta expresión, sabemos que d es 3 yk es 16, por lo que podemos resolver la siguiente expresión para n:
[matemáticas] 2 ^ {16} \ leq \ frac {2 ^ n} {{n \ elegir 0} + {n \ elegir 1}} [/ matemáticas]
Si conectamos esto a MATLAB, encontramos que [math] n \ geq 21 [/ math]
Entonces podemos elegir n = 21, lo que significa que necesita n – k = 21 – 16 = 5 bits de verificación.
( Nota : Esto se escribe asumiendo solo un alfabeto binario. La relación de Hamming Bound se puede generalizar para un alfabeto q-ary)
