Deje que [math] \ mu [/ math] sea un vector dimensional [math] p [/ math] y len [math] \ Sigma [/ math] sea una matriz positiva definida [math] p \ times p [/ math] . La forma estándar del PDF de [math] p [/ math] -dimensional multivariante distribución normal [math] N (\ mu, \ Sigma) [/ math] es
[matemáticas] f (x) = (2 \ pi) ^ {- p / 2} (\ det (\ Sigma)) ^ {- 1/2} \ exp (- \ frac {1} {2} (x- \ mu) ^ T \ Sigma ^ {- 1} (x- \ mu)), \: x \ in \ mathbb {R} ^ p. [/ math]
Sin embargo, el programa usa una forma alternativa del PDF. Sea [math] \ Sigma = RR ^ T [/ math], donde [math] R [/ math] es una matriz triangular inferior [math] p \ times p [/ math], sea la descomposición de Cholesky de [math] \ Sigma. [/ Matemáticas] Entonces
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[matemáticas] \ det (\ Sigma) = (\ det (R)) ^ 2 = (\ prod_ {i = 1} ^ p (R) _ {ii}) ^ 2, [/ matemáticas]
porque el determinante de la matriz triangular [matemática] R [/ matemática] es el producto de sus elementos diagonales [matemática] (R) _ {11},…, (R) _ {pp} [/ matemática].
Además [matemáticas] \ Sigma ^ {- 1} = R ^ {- T} R ^ {- 1} [/ matemáticas], es decir,
[matemáticas] (x- \ mu) ^ T \ Sigma ^ {- 1} (x- \ mu) = (R ^ {- 1} (x- \ mu)) ^ {T} (R ^ {- 1} (x- \ mu)) = \ | R ^ {- 1} (x- \ mu) \ | ^ 2. [/ Math]
Por lo tanto
[matemáticas] f (x) = (2 \ pi) ^ {- p / 2} (\ prod_ {i = 1} ^ p (R) _ {ii}) ^ {- 1} \ exp (- \ frac { 1} {2} \ | R ^ {- 1} (x- \ mu) \ | ^ 2), \: x \ in \ mathbb {R} ^ p. [/ Math]
Esta es la forma del PDF implementado por el programa, que probablemente sea numéricamente más eficiente que el formulario estándar.
