No tiene que mirar más allá de su (mi?) Viejo amigo [math] \ mathcal {H}: = L ^ 2 ([0,1]) [/ math], es decir, el conjunto de funciones integrables cuadradas en El intervalo de la unidad.
Para mí, es más fácil demostrar que este espacio no es un RKHS al mostrar que el operador de evaluación de puntos asociado no es continuo. Para elaborar, [math] L_x (f) = f (x) [/ math] que toma una función y la evalúa en un punto dado, en este caso x.
Entonces, ¿por qué no se trata de una función continua? Bueno, pensemos en un viejo modo de espera del análisis matemático, el conjunto de funciones de la forma [matemáticas] f_n (x) = n ^ {. 5} \ cdot 1 _ {\ left [0, \ frac {1} {n} \ right]} [/ math], y evaluémoslos en x = 0, así que vamos a usar [math] L_0 [/ math].
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Por construcción, la norma [matemática] L ^ 2 [/ matemática] de cada [matemática] f_n [/ matemática] es 1, pero el valor de [matemática] f_n (0) [/ matemática] aumenta y aumenta. Esto muestra que el operador [math] L_0 [/ math] no es continuo y el espacio no es un RKHS.
Entonces, ¿por qué funciona exactamente este contraejemplo? Bueno, en cierto nivel, se debe a la continuidad del espacio de entrada: podemos dejar que una función se vuelva más y más alta, siempre que se vuelva más y más delgada. Tenga en cuenta que este comportamiento no es posible en la pequeña [matemática] l ^ 2 [/ matemática] (las secuencias integrables cuadradas), porque no puede aplastar las cosas a la delgadez arbitraria. Pero, cuando puede, en realidad no hay ninguna razón por la cual la evaluación puntual debería tener algo que decir sobre la norma de una función. Supongo que este es el corazón de la definición de RKHS: ¿ cuándo dice la evaluación puntual algo sobre la norma de una función?
