Entiendo este problema de la siguiente manera:
– Tienes n ciudades, líneas entre un par de ciudades, y quieres decir si hay una ruta usando esas líneas desde [matemáticas] C [/ matemáticas] a [matemáticas] L [/ matemáticas], suponiendo que se puedan tomar líneas ambos sentidos.
Respuesta corta: sí
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Respuesta larga :
Deje que [math] E [/ math] sea el conjunto de ciudades a las que se puede llegar por alguna ruta a partir de [math] C [/ math]. Resulta que :
- [matemáticas] C [/ matemáticas] está en [matemáticas] E [/ matemáticas]
- Cada ciudad de [math] E [/ math] tiene todos sus vecinos en [math] E [/ math]
- La suma del número de vecinos de cada ciudad en [matemáticas] E [/ matemáticas] es par
La tercera declaración no es trivial: se deduce del hecho de que cada línea que conecta dos ciudades de [matemáticas] E [/ matemáticas] contribuye en una cantidad de 2 a la suma. Por lo tanto, esta suma es el doble del número de líneas que conectan ciudades de [matemáticas] E [/ matemáticas] y, por supuesto, es par.
Como [math] C [/ math] está en [math] E [/ math], y como tiene un número impar de vecinos, debe haber al menos otra ciudad con un número impar de vecinos en [math] E [ /matemáticas]. Como la única ciudad posible es [matemáticas] L [/ matemáticas], [matemáticas] L [/ matemáticas] está en [matemáticas] E [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] L [/ matemáticas] es accesible desde [matemáticas] C [/ matemáticas].
Desde un punto de vista matemático, acaba de demostrar que:
Deje que [math] G [/ math] sea un gráfico con todos los vértices pero dos con un grado par. Entonces, existe un camino en [matemáticas] G [/ matemáticas] entre esos dos vértices.
Los vértices corresponden a ciudades, un gráfico es solo una lista de ciudades con algunas líneas entre ellas, mientras que el grado de un vértice es el número de vecinos de la ciudad correspondiente 🙂
