¿Cómo funciona realmente un autómata pushdown simple? ¿Qué es una demostración, con ejemplos?

Esos no son idiomas, son frases. Un idioma es un conjunto de frases. Un PDA es una máquina abstracta, no es un dispositivo real (aunque cualquiera de los numerosos dispositivos reales puede implementar la abstracción). “Reconoce” frases de algún idioma al estar en un estado de “aceptación” cuando la entrada se ha agotado. Alternativamente, la aceptación se puede definir como que la pila está vacía cuando se agota la entrada.

El estado actual del PDA es un conjunto de reglas que determina lo que debe hacer en función del símbolo debajo del encabezado de lectura y el símbolo en la parte superior de la pila. Lo que puede hacer es mostrar el símbolo superior de la pila, insertar algún símbolo en la pila, avanzar el cabezal de lectura y cambiar a otro estado. Una vez que ha pasado a otro estado, el proceso se repite hasta que se agota la entrada. Eso es todo lo que hay para “procesar” la cinta.