Es [matemáticas] O (n ^ 3) [/ matemáticas], por lo tanto, seguramente es [matemáticas] O (n ^ 4) [/ matemáticas] (recuerde que la notación Big-Oh solo especifica que este es un límite superior ).
¿Por qué es [matemáticas] O (n ^ 3) [/ matemáticas]? Intuitivamente, porque el término con el mayor poder es [matemática] n ^ 3 [/ matemática], y por lo tanto, a la larga, cualquier otra potencia se volverá irrelevante. Matemáticamente, puedes probarlo de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {5n + 8n ^ 2 + 100n ^ 3} {100n ^ 3} = 1 [/ matemáticas],
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por lo tanto, para algunos [matemática] N> 0 [/ matemática], si [matemática] n> N [/ matemática] entonces
[matemáticas] \ begin {align *} \ left | \ frac {5n + 8n ^ 2 + 100n ^ 3} {100n ^ 3} – 1 \ right | & = \ left | \ frac {5n + 8n ^ 2} {100n ^ 3} \ right | <1 \ end {align *} [/ math].
Como todo es positivo, concluimos que para [matemáticas] n> N [/ matemáticas], [matemáticas] 5n + 8n ^ 2 <100n ^ 3 [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] 5n + 8n ^ 2 + 100n ^ 3 <200n ^ 3 [/ matemáticas].
Sin embargo, la notación Big Oh generalmente especifica que queremos que el límite se mantenga para todos [math] n [/ math]. Afortunadamente, podemos corregir eso, ya que [matemática] 1 \ leq n \ leq N [/ matemática] está cerrada y acotada, y [matemática] 5n + 8n ^ 2 + 100n ^ 3 [/ matemática] es continua, debe golpear algún máximo [matemáticas] M [/ matemáticas]. Por lo tanto, sabemos que [matemáticas] 5n + 8n ^ 2 + 100n ^ 3 <M n ^ 3 [/ matemáticas] para todos [matemáticas] 1 \ leq n \ leq N [/ matemáticas].
Concluimos que [matemática] 5n + 8n ^ 2 + 100n ^ 3 <(M + 200) n ^ 3 [/ matemática] para todos [matemática] n [/ matemática] y, en consecuencia, [matemática] 5n + 8n ^ 2 + 100n ^ 3 = O (n ^ 3) [/ matemáticas].
EDITAR: Parece que me acordé mal: solo necesitas el límite para mantener lo suficientemente grande [matemáticas] n [/ matemáticas] en notación Big Oh. Sin embargo, como lo indica mi respuesta, eso es realmente irrelevante: si puede hacerlo por una cantidad [matemática] n [/ matemática] suficientemente grande, puede hacerlo por toda [matemática] n [/ matemática] (siempre que su función es continuo y positivo).
