Denote [matemática] S = \ sum_ {k = 0} ^ nk ^ 2 \ dbinom {n} {k} [/ matemática].
Hacemos la pregunta: ¿Qué cuenta [matemáticas] S [/ matemáticas]?
[math] S [/ math] cuenta el número de equipos de jugadores de [math] k [/ math] seleccionados de un grupo de jugadores de [math] n [/ math], con dos posiciones especiales, digamos portero (o wicketkeeper) y capitán en un equipo de fútbol (cricket).
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¿Cómo es [matemáticas] S [/ matemáticas] siendo evaluado? Primero seleccionamos al equipo de jugadores de [matemáticas] k [/ matemáticas] y seleccionamos al capitán y al portero de entre esos [matemáticas] k [/ matemáticas]. Esto nos da la expresión exacta para [math] S [/ math] como se da en el problema.
Alternativamente, primero podríamos elegir al capitán y al portero, y luego decidir si un jugador está en el equipo de no. Aquí tenemos dos casos:
- Caso 1: El capitán y el portero son el mismo jugador.
- Caso 2: El capitán y el portero son jugadores diferentes.
Contamos el número de equipos posibles en los casos 1 y 2 independientemente usando el principio de multiplicación.
En el caso 1, tenemos opciones [matemáticas] n [/ matemáticas] para elegir al capitán portero, y para los jugadores restantes, tenemos opciones [matemáticas] 2 ^ {n-1} [/ matemáticas], ya que cada jugador es en el equipo, o no en el equipo, dando un total de [matemáticas] n2 ^ {n-1} [/ matemáticas] posibles equipos con el mismo portero y capitán.
En el caso 2, primero seleccionamos al capitán (de entre las opciones [matemáticas] n [/ matemáticas]), luego el portero, de las restantes [matemáticas] n-1 [/ matemáticas], y luego seleccionamos un subconjunto de restantes [matemáticos] n-2 [/ matemáticos] jugadores como el resto del equipo, dando un total de [matemáticos] n (n-1) 2 ^ {n-2} [/ matemáticos] posibles equipos.
Como los casos 1 y 2 son exclusivos y agotan todas las posibilidades, debemos tener [matemáticas] S = n2 ^ {n-1} + n (n-1) 2 ^ {n-2} = n (n + 1) 2 ^ {n-2} [/ matemáticas].
Alternativamente, uno podría considerar la función generadora [matemática] (1 + x) ^ n [/ matemática] junto con su expansión. Diferenciar ambos lados, multiplicar ambos lados por x, diferenciar de nuevo y conectar [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]. Demasiado perezoso para escribir los detalles, pero entiendes la idea, supongo.
