Cómo mostrar el límite de (1 + a_n / n) ^ n = e ^ a si el límite de a_n = a cuando n se aproxima al infinito

[math] y_n = (1+ \ frac {a_n} {n}) ^ n [/ math] tomando [math] \ ln [/ math] dando:
[math] \ ln y_n = n \ ln (1+ \ frac {a_n} {n}) [/ math] teniendo límite tenemos:
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ ln y_n = \ lim_ {n \ to \ infty} n \ ln (1+ \ frac {a_n} {n}) [/ math]
[math] = \ lim_ {n \ to \ infty} n \ ln (1+ \ frac {a} {n}) = [/ math] [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ ln (1+ \ frac {a} {n}) ^ n [/ math] así
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} y_n = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {a} {n}) ^ n = e ^ a [/ math] donde usamos la continuidad de la función ln

Lo sabemos:
[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (1+ \ frac {1} {n}) ^ n = e [/ matemáticas]

Podemos intentar usar [math] \ frac {a_n} {n} [/ math] para reemplazar [math] \ frac {1} {n} [/ math]. Entonces tenemos:

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (1+ \ frac {a_n} {n}) ^ n = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} ((1+ \ frac {a_n} {n}) ^ {\ frac {n} {a_n}}) ^ {a_n} = [/ math]

[matemáticas] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} e ^ {a_n} = e ^ a [/ math]