[matemáticas] \ displaystyle I ‘= \ int _ {- \ pi / 4} ^ {\ pi / 4} \ ln (\ sen x + \ cos x) \, dx [/ math]
Sustituya [math] \ textstyle z = x + \ frac {\ pi} {4} [/ math]. Los límites del cambio integral de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] \ pi / 2 [/ matemáticas]. Expanda los términos [math] \ sin (z- \ frac {\ pi} {4}) [/ math] y [math] \ cos (z- \ frac {\ pi} {4}) [/ math] usando Las fórmulas de resta. Aterrizas con
[matemáticas] \ displaystyle I ‘= \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ ln (\ sqrt {2} \ sin z) \, dz [/ math]
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[matemáticas] \ displaystyle \ implica I ‘= \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ ln \ sqrt {2} \, dz + \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ ln \ sin z \, dz [/ math ]
[matemáticas] \ displaystyle \ implica I ‘= \ frac {\ pi} {4} \ ln 2 + I [/ matemáticas]
EDITAR: Pero
[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ ln \ sin x \, dx = – \ frac {\ pi} {2} \ ln 2 [/ matemáticas] (Página en ucsd.edu)
Asi que,
[matemáticas] \ displaystyle I ‘= \ frac {\ pi} {4} \ ln 2 – \ frac {\ pi} {2} \ ln 2 = – \ frac {\ pi} {4} \ ln 2 = \ frac {I} {2} [/ matemáticas]
