Calcular la derivada utilizando la definición de límite. ¿Hay una forma menos compleja de resolver este problema?

Es posible que desee ver la respuesta a la pregunta. Al calcular la derivada utilizando el límite, ¿por qué cambia esta función? que es casi, pero quizás no del todo, un duplicado de esta pregunta.

Dado que el problema dice explícitamente que se use la definición de límite, y la función incluye [math] x ^ 2 [/ math] y [math] \ frac {1} {x} [/ math], habrá problemas fracciones

Supongo que podría escribir [matemáticas] f (x) = 3x ^ 2 – x ^ {- 1} [/ matemáticas] y obtener [matemáticas] f ‘(3) = \ lim_ {x \ to3} \ frac {(3x ^ 2-x ^ {- 1}) – (3 \ cdot3 ^ 2 – 3 ^ {- 1}} {x-3} = \ lim \ frac {3 (x ^ 2-9) – (3 ^ {- 1} – x ^ {- 1})} {x-3} = \ lim \ frac {3 (x + 3) (x-3) + (x-3) (3x) ^ {- 1}} {x -3} = \ lim \ frac {(x-3) (3 (x + 3) + (3x) ^ {- 1})} {x-3} = \ lim 3 (x + 3) + (3x) ^ {- 1} = 3 (3 + 3) + (3 \ cdot3) ^ {- 1} = 3 \ cdot 6 + 9 ^ {- 1} = 18 + \ frac {1} {9} [/ matemática] , pero eso es realmente solo un cambio en la notación, no una simplificación real del método.

Las fracciones, y simplificar fracciones como esa, son simples manipulaciones algebraicas. El cálculo tenderá a darte mucha experiencia en manipulaciones algebraicas. La práctica te hará bueno en eso.

No creo que esto sea del todo complicado. La única razón por la que piensas eso es porque no te sientes cómodo con el álgebra. Esto mejorará con la práctica.

Hay dos puntos sobre la solución modelo. En primer lugar, escribir lim blah – lim blah usa un teorema que no has probado. Sin embargo, es casi obvio que el límite de una suma es la suma de los límites, y de manera similar para la diferencia. La solución modelo podría haber evitado eso simplemente poniendo paréntesis alrededor del par de fracciones. Y eso lleva al segundo punto. Es un poco descuidado escribir términos separados y esperar que ‘lim’ se aplique a ambos. Pondría paréntesis alrededor del par de términos dentro del límite.

Tu profesor te muestra la definición de una línea tangente, que es lo que harás en la siguiente unidad con derivadas: encontrar la pendiente de una línea en un punto en particular.

En esa unidad, aprenderá la regla de poder que es:

[d / dx] x ^ n = x ^ n-1

Básicamente, esto dice que toma el valor del exponente original y lo multiplica por la constante, y resta un número del exponente original.

entonces para la función 3x ^ 2 – 1 / x

la función se reescribiría como 3x ^ 2 – x ^ -1 para poder completar la regla de potencia

la derivada sería 6x – (-1) x ^ -2, que puede reescribirse como 6x + 1 / x ^ 2

Primero, si todo, una vez que aprenda las reglas de las derivadas, verá que f ‘= 6x + 1 / (x ^ 2), luego f’ (3) = 18 + 1/9.

De lo contrario, tome el límite del cociente de diferencia de 3x ^ 2 y separadamente 1 / x. Su delta x desaparecerá y quedará con 6x + 1 / x ^ 2. Luego evalúelo en x = 3.

No, no hay manera fácil.