Cuando quitamos un borde de un árbol, parece obvio que nos quedan dos árboles, pero ¿cómo podríamos probar esto?

Teorema: Cualquier bosque en vértices [matemáticos] n [/ matemáticos] tiene componentes [matemáticos] k [/ matemáticos] si y solo si tiene bordes exactamente [matemáticos] (nk) [/ matemáticos].

Prueba: Fix [matemática] n [/ matemática]. Comience desde un bosque sin bordes, que claramente tiene componentes [matemáticos] n [/ matemáticos]. Introducir una ventaja en este gráfico reducirá el número de componentes en [math] 1 [/ math]. Introducir otra ventaja reduce el número de componentes en 1 nuevamente. Continúe introduciendo bordes hasta que termine con un solo componente que tenga bordes [matemáticos] (n-1) [/ matemáticos]. El resultado queda así probado.

La prueba de la pregunta que está haciendo es solo un simple corolario del teorema anterior.

Eliminar un borde de cualquier gráfico conectado crea un gráfico con como máximo dos componentes conectados. El gráfico original no necesita ser un árbol; solo necesita estar conectado.

¿Por qué? Porque un borde conecta solo dos vértices. Entonces, si tiene un gráfico con tres o más componentes conectados, agregar un borde puede conectar dos de ellos, pero no puede hacer nada por el tercero. Este tercer componente se desconectó del resto del gráfico antes de agregar el nuevo borde, y aún se desconecta después.

Jugar esto al revés, eliminar un borde de un gráfico conectado (árbol o no) no puede producir un gráfico con tres o más componentes conectados.

(Advertencia: eliminar un vértice de un gráfico conectado puede crear un gráfico con un millón de componentes conectados).

Tu árbol original no tenía ciclos. Por lo tanto, tampoco habrá ciclos en el gráfico resultante.

Significa que tendremos un bosque (que consta de uno o más árboles).

Sabemos que el árbol con n vértices tiene exactamente n-1 borde.

Demuestra que tendremos un bosque resultante que consta de dos árboles, porque tiene n vértices y n-2 bordes (había n-1 bordes primero, luego eliminamos uno de ellos). Para un bosque que consta de 3 árboles con tamaños A, B, C, de modo que A + B + C = n, solo habrá (A-1) + (B-1) + (C-1) = n-3 bordes

Imagina que comienzas con [math] n [/ math] vértices aislados = [math] n [/ math] componentes conectados. Ahora, uno por uno, agregue todos los bordes del árbol original, excepto el que desea eliminar. Como no había ciclos en el árbol original, agregar cada borde conecta dos componentes en uno. Por lo tanto, después de agregar todos los bordes [matemáticos] n-2 [/ matemáticos] debemos quedarnos exactamente con dos componentes conectados.

Un árbol se caracteriza por el hecho de que hay una ruta única entre dos nodos. Puede pensar en lo que sucede con las rutas que contenían el borde que eliminó y las rutas que no lo hacen para tener una idea de una prueba.