Simular la mecánica clásica es mucho más simple que simular la mecánica cuántica. Sin discutir los requisitos matemáticos, esto puede ser evidente por el hecho de que la mecánica cuántica reproduce la mecánica newtoniana en grandes escalas no relativistas.
Para poner algunos números a eso, podemos expresar la complejidad de los algoritmos informáticos responsables de una simulación física en relación con el número de partículas [matemáticas] N [/ matemáticas] que se simulan.
El peor de los casos para una simulación de la física clásica implica una complejidad que se escala con [matemáticas] N ^ 2 [/ matemáticas]. Eso significa que si simulamos 100 partículas en una computadora, necesitamos instrucciones de CPU ásperas [matemáticas] 100 \ cdot 100 = 10,000 [/ matemáticas] por paso de integración. Para [matemática] 1,000 [/ matemática] partículas, necesitaríamos aproximadamente [matemática] 1,000,000 [/ matemática] instrucciones. Este es el peor de los casos. En general, podemos reducir la complejidad de estas simulaciones a [math] N \ cdot \ operatorname {log} (N) [/ math] o incluso solo [math] N [/ math] instrucciones. Por lo tanto, una simulación del mejor caso para partículas [matemáticas] 1,000,000 [/ matemáticas] toma casi tanto tiempo como una simulación del peor caso para partículas [matemáticas] 1,000 [/ matemáticas]. Esa es una gran diferencia.
Lo anterior fue solo para una simulación de la física clásica. Las simulaciones mecánicas cuánticas son mucho más complejas. Resolver la mecánica cuántica generalmente se considera un problema NP-difícil. Si no sabe lo que eso significa, basta con decir que es impensablemente más complejo de lo que estoy a punto de mostrarle.
Incluso cuando estamos utilizando una gran cantidad de simplificaciones, los algoritmos más rápidos para las simulaciones de mecánica cuántica varían de [matemática] N ^ 4 [/ matemática] a [matemática] N ^ 6 [/ matemática] en complejidad. Para poner esto en perspectiva, el tiempo que lleva simular [matemáticas] 1,000 [/ matemáticas] partículas clásicas en el peor de los casos es aproximadamente el tiempo que lleva simular partículas matemáticas [matemáticas] 32 [/ matemáticas] en un mejor de los casos.
Para empeorar las cosas, en una simulación clásica podemos descuidar las propiedades individuales de los electrones, protones y neutrones que forman un átomo. Por lo tanto, en las simulaciones clásicas a menudo podemos suponer que un solo átomo se constituye como una partícula clásica. Sin embargo, con simulaciones de mecánica cuántica este no es el caso. En el mejor de los casos, podríamos dejar de lado la naturaleza mecánica cuántica del núcleo y asumir que se comporta como una partícula clásica. Sin embargo, los grados electrónicos de libertad, es decir, los electrones del átomo, deben considerarse como partículas cuánticas individuales. Esto significa que no solo las relaciones de escala para las simulaciones de mecánica cuántica son mucho más pronunciadas, sino que el número de lo que constituye una partícula individual es mucho mayor para un sistema equivalente.
Entonces, comparemos. El peor de los casos con una cantidad mínima de aproximaciones para la física clásica versus el mejor de los casos con una cantidad repugnante de aproximaciones e interacciones descuidadas para una simulación mecánica cuántica. Simulamos un sistema de gas noble simple y simple. [matemáticas] 1,000 [/ matemáticas] átomos de neón. La peor simulación clásica [matemática] 1,000 ^ 2 = [/ matemática] [matemática] 1,000,000 [/ matemática] Instrucciones de CPU por paso de integración. (Sí, lo sé, las simulaciones de neón son tan simples que podemos resolverlas en tiempo lineal, pero en aras de la discusión …).
El mismo sistema, pero con mecánica cuántica. [matemáticas] 1,000 [/ matemáticas] átomos de neón. [matemáticas] 10 [/ matemáticas] electrones cada uno. Esto nos da [matemáticas] 10,000 [/ matemáticas] partículas cuánticas para simular. Así que aproximadamente [matemáticas] 10,000 ^ 4 = 10,000,000,000,000,000 [/ matemáticas] Instrucciones de CPU por tick. Nuevamente, el mejor de los casos con simplificaciones generales. Esto sería suficiente para simular el peor de los casos del sistema clásico [matemático] 10,000,000,000 [/ matemático]. Diez mil millones de veces. Para un sistema extremadamente simple como este. Solo empeora para sistemas más complejos.
Debo enfatizar que, en general, la complejidad de los problemas de la mecánica cuántica aumenta exponencialmente. El ejemplo anterior es la complejidad de un método extremadamente simplificado para determinar el estado fundamental de un sistema estacionario. Dependiendo de lo que deseamos simular, los valores propios para el estado fundamental mencionado anteriormente podrían estar desactivados en más del 5%.
