Toda la base de la criptografía de clave pública se basa en la pregunta que ha formulado. Es solo por el hecho de que la extracción de la clave privada de la clave pública es computacionalmente inviable, que los criptosistemas de clave pública son seguros y, por lo tanto, se utilizan.
Permítanme demostrar esto a través del criptosistema RSA.
Aquí la clave es [matemáticas] (n, p, q, a, b) [/ matemáticas].
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La clave pública es [matemática] (n, b) [/ matemática] y la clave privada es [matemática] (p, q, a) [/ matemática].
[matemáticas] n = p * q [/ matemáticas] {donde p y q son números primos grandes}.
[math] a [/ math] se elige entre [math] {1,2,…., ϕ (n) -1} [/ math]. Aquí [math] ϕ (n) [/ math] es la función totient de Euler.
[math] b [/ math] se calcula de manera que, [math] ab ≡ 1 mod (ϕ (n)) [/ math].
Ahora se le da la clave pública [matemáticas] (n, b) [/ matemáticas]. Desea averiguar la clave privada de esto.
Digamos que desea averiguar [matemáticas] p [/ matemáticas] o [matemáticas] q [/ matemáticas]. Para hacerlo, debe factorizar [math] n [/ math], que suele tener una longitud de 1024 o 2048 bits. Esta tarea es computacionalmente inviable utilizando los algoritmos de factorización de enteros más conocidos y proporciona la seguridad real al sistema. Factorice [math] n [/ math] en un tiempo razonable y puede descifrar RSA.
Si desea averiguar [matemáticas] a [/ matemáticas], debe averiguar [matemáticas] ϕ (n) [/ matemáticas], que es igual a [matemáticas] (p-1) (q-1) [ /matemáticas]. Como no puede encontrar [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas], no podrá encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas].
Por lo tanto, descubrir la clave privada de la clave pública es imposible.
Esto es cierto siempre que la factorización no sea factible. Usando el algoritmo de Shor en computadoras Quantum, este problema se vuelve factible. Entonces, hasta que se construyan computadoras cuánticas que puedan resolverlo, RSA y otros criptosistemas de clave pública son seguros.
